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» Théorème I. — Pour qu'une équation h n soit anharmonique , il faut et il 

 suffit que le polynôme f(u) en u soit équivalent (transformable par substitution 

 linéaire fractionnaire effectuée sur u)à un polynôme F(«) à coefficients indé- 

 pendants de t, c est-à-dire constants. 



» Théorème II. — Pour assurer l'équivalence, il faut et il suffit que n — 3 

 invariants absolus de f(u) soient des constantes. 



» Que la condition soit nécessaire, cela est évident. Il faut plus de pré- 

 cautions pour établir la suffisance. En effet, l'égalité des invariants absolus 

 n'assure pas toujours l'équivalence de deux polynômes. On doit montrer 

 que l'on ne se trouve pas dans le cas d'exception signalé par Aronhold 

 (Journal de Borchardt, t. 62 et 69), Gram (Mathematische Annalen, t. VII), 

 Cbristoffel (Math. Ann., t. XIX). Les invariants absolus qui interviennent 

 sont ceux de Christoffel. Ils coïncident, à n'en pas douter, au fond avec 

 ceux que fournissent les métbodes ordinaires (théorie des formes, notation 

 symbolique, etc.), mais les formules de rattachement n'ont pas encore été 

 trouvées, pour n quelconque, au moins à ma connaissance. 



» h a étant anharmonique, on mettra la dérivée de la fonction algé- 

 brique u des coefficients a sous la forme connue 



les n — 3 égalités o = A„_, = A„_, = . . . = A, exprimeront la constance 

 des invariants absolus et Use trouvera construite. Par exemple, pour n = 4 



_ijdQ_ 

 As ~ R Qdt' 



où i,j, R, Q désignent respectivement les deux invariants 



i = 2(a a 4 — 4 a i t7 3 + 3 a;;), 



j = 6(a a 2 a> +2a,« 2 a, - al — a a 2 3 — a]a^), 



le discriminant R = i 3 — 6/ 2 , et l'invariant absolu Si de h 4 . 



» Envisageons u et t comme des coordonnées; nommons w le point à 

 l'infini sur l'axe des u. L'équation H„ représentera une courbe algébrique 

 indécomposable C, de degré m a -+- n. Toute sécante D,, issue de w, coupe C 

 en m M points confondus avec o> et n autres points x, formant un groupe X„. 

 Le rapport anharmonique K. de quatre points de X„ est constant, tandis 

 que ces points sont eux-mêmes mobiles avec /. 



