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 » Soit t une racine du discriminant; D, o touche C ou joint u à un point 

 multiple de C. Tout cela posé, il vient les deux propositions suivantes : 

 » I. Sur D, le groupe X„ ne peut comporter que deux constitutions : 

 » i° Un point (n — i) uple et un point simple ; 

 » 2° Un point n uple . 

 » II. Dans le premier cas, si l'on développe en série, suivant les puissances 



de t — t , les ~ différences deux à deux des racines, tous les développe- 

 ments débuteront par une même puissance de t — t . 



» Dans le second cas, il existera des sujétions de même nature, mais 

 plus compliquées. 



» Pour obtenir h n , il n'est pas nécessaire de calculer les n — 3 invariants 

 absolus, ce qui serait malaisé, d'un polynôme de degré n. Une méthode de 

 récurrence permet de remonter de h n _ K à h a , .... 



» La construction effective des H„ (équations h n à coefficients rationnels 

 en t et irréductibles) ne présente pas de difficulté sérieuse pour n pas trop 

 élevé, par exemple n = 4 ou 5. 



» Pour H 4 , on rencontre d'abord les équations équianharmoniques, 

 i'= o, et harmoniques, / = o, lesquelles sont bien connues. Le dernier 



type de H 4 est 



(ir -h q)- — p(iu — /-) 2 -= o, 



p, q, r = rationnels en t, avec la condition 



pr> = (p- qf - (k^t) O + 7) 2 - 



H 4 est abélienne et a ses racines rationnelles par rapport à une quelconque 

 d'entre elles. 



» H s s'obtient en éliminant m entre les deux équations 



mL+M= /"T 2 — , T = 7w(m 2 — 5m -h 5) 2 , 

 m 2 — 3 m -+- 1 x ' 



L, M, T = rationnels en t; R = G -+- 9\ étant une racine cinquième pri- 

 mitive de l'unité. 



» Le groupe de H 5 a pour ordre dix et provient des substitutions 



^oi234) et (o)(i4)(a3). 



H 5 est une équation de Galois. » 



