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 pidité de la croissance de y ; on posera \x — a\ = - et \y | = <p( z) ; par hypo- 

 thèse, <p(-) sera une fonction positive croissante de la variable positive z. 

 Dans le cas où y serait indéterminé pour x = a, son champ d'indétermi- 

 nation s'étendant ou non jusqu'à l'infini, on pourrait aussi définir une fonc- 

 tion positive croissante, dépendant de la rapidité des variations de y. 



» 2. Relativement aux fonctions positives croissantes, Paul du Bois- 

 Reymond a démontré un théorème important (') : Étant donnée une infi- 

 nité dénombrable quelconque de fonctions positives croissantes, on peut trouver 

 une fonction positive croissante qui croisse plus vile que chacune d'elles. Le but 

 de cette Note est d'indiquer un champ étendu d'applications dont ce théo- 

 rème paraît susceptible. 



» 3. Considérons, pour fixer les idées, une équation différentielle obte- 

 nue en égalant à zéro un polynôme quelconque en x, y, y', y", y'", à coeffi- 

 cients entiers, et une intégrale réelle y de cette équation, définie par des 

 conditions initiales rationnelles quelconques x , y , y' g , y" . Lorsque x varie 

 sur l'axe réel à partir de x , y variera d'une manière continue et sera déter- 

 miné, jusqu'à ce que l'on atteigne un point singulier a. A ce point singu- 

 lier, nous pouvons, d'après ce qui précède, faire correspondre une fonction 

 positive croissante o(-), bien déterminée. 



» Or il est clair que l'ensemble des fonctions 9(3) qui peuvent être définies 

 ainsi est dénombrable ; il existe donc une fonction $(2) qui les dépasse toutes 

 par la rapidité de sa croissance. 



» En d'autres termes, il existe une fonction ^(z) ayant la propriété sui- 

 vante : Toute fonction 9(2), obtenue comme il vient d'être dit, croît moins 

 rapidement que $(s). 



» On verrait très aisément que, si les coefficients de l'équation différen- 

 tielle, ou même seulement les valeurs initiales, n'étaient plus assujettis à 

 la condition d'être rationnels, on pourrait, étant donnée a priori une fonc- 

 tion quelconque <î>("), obtenir une fonction y, telle que la fonction corres- 

 pondante <p(s) croisse plus vite que $(s) ( 2 ). Cette remarque était néces- 

 saire pour justifier la restriction que nous imposons aux coefficients et aux 

 conditions initiales. 



» La détermination effective de la fonction $(z) ne paraît pas aisée; 



(') Voir mes Leçons sur la Théorie des fonctions, Note II. 



( 2 ) Voir mon Mémoire sur les séries divergentes (Annales de l'Ecole Normale, 

 1899; p. 47, note du bas). 



