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c'est cependant quelque chose d'être assure de son existence; un sujet bien 

 précis de recherches nouvelles se trouve ainsi offert à la sagacité des géo- 

 mètres. 



» 4. Il nous paraît inutile d'insister sur les généralisations innombrables 

 et extrêmement étendues dont est susceptible la proposition que nous 

 venons d'énoncer; il suffit, pour y être conduit, de remarquer que tout 

 ensemble dénombrable d'ensembles dénombrables est un ensemble dénom- 

 brable. 



« 5. Etant donné un nombre incommensurable, si on le réduit en frac- 

 lion continue, le n ieme quotient incomplet a„ peut être une fonction crois- 

 sante de n. Sinon, soit <p(") le plus grand des nombres a,, a. 2 , . . ., a H \ la 

 fonction y(n) n'est pas décroissante. On peut se proposer d'étudier la 

 rapidité de la croissance de ç(«) pour une classe déterminée de nombres 

 incommensurables. Par exemple, il résulte de recherches de JJouville (') 

 que, pour les nombres algébriques, la fonction ç(n) croît moins rapide- 

 ment qu'une puissance positive de n. Plus généralement, étant donné un 

 ensemble dénombrable quelconque de nombres incommensurables, il 

 existe une fonction <I>(n) dépassant toutes les fonctions <?(«) qui leur cor- 

 respondent; le problème se pose dès lors de la détermination effective 

 de $(«)• On pourrait considérer, par exemple, les valeurs que prennent 

 des fonctions y définies plus haut, lorsqu'on donne à x des valeurs ration- 

 nelles, etc. On pourrait aussi se borner à considérer les logarithmes des 

 nombres rationnels, ou des nombres algébriques, etc. 



» J'ai déjà indiqué, à diverses reprises (voir, notamment, Comptes rendus, 

 16 décembre i8g5), l'importance de la fonction cp(«) dans diverses ques- 

 tions où interviennent des nombres incommensurables. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries divergentes et les fondions définies 

 par un développement de Taylor. Note de M. Le Roy, présentée par 

 M. Poincaré. 



« I. Une série entière ayant un cercle de convergence limité définit une 

 fonction analytique dans tout le domaine où celle-ci existe. Mais celle défi- 

 nition reste purement théorique tant qu'on ne possède aucun moyen de 

 reconnaître, à l'inspection de la série elle-même, si le prolongement est 



(') Voir mes Leçons sur la théorie des fonctions, Chap. II. 



