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 possible ou non. Je me suis efforcé de combler cette lacune en cherchant 

 des caractères qui permettent de découvrir la nature d'une fonction donnée 

 par son développement taylorien. 



» II. Si l'on a, pour toutes les valeurs entières et positives de n, 



«.„= I o(x)x"dx, 

 d vient 



/^)=±^" = {^dx. 



» On voit alors que f(z) n'admet dans tout, le plan d'autres points singu- 

 liers que z = i et z = ce. De plus, /(s) n'est pas uniforme, et l'on en peut 

 trouver les diverses branches. Enfin, il est possible de déterminer dans des 

 cas étendus l'allure de /'(z) aux environs de z = i. 



» Cette transformation d'une série entière en une intégrale définie peut 

 être variée d'une infinité de façons. On est toujours ramené à résoudre, 

 relativement aux coefficients «„, un problème de calcul inverse des intégrales 

 de/inies. 



m HT. En suivant cette voie, j'ai obtenu de nombreux résultats, résumés 

 partiellement dans deux Notes antérieures (Comptes rendus, 3i octobre et 

 5 décembre 1898). Ces résultats aboutissent au théorème suivant : 



» On peut faire l'élude complète de f(z') dans tout le plan si ol„ est une 

 fonction analytique de n = pe' w holomorphe pour p >• p et | u | < co , p et «> 



désignant deux constantes positives quelconques, et si la série Va B s" conserve 





 le même cercle de convergence quand on remplace n par né a dans x a , | o> | res- 

 tant inférieur à u> u . 



» Une application importante est relative au cas où le rapport -^ est 



rj -n 



développable suivant les puissances de - : le théorème précédent s'ap- 

 plique alors. 



» Dans ces divers cas, on déduit de la série donnée une intégrale définie 

 qui représente la fonction définie par la série : cette intégrale fournit une 

 expression analytique de la fonction valable pour un domaine absolument 

 quelconque, sauf des coupures grâce auxquelles on atteint les points sin- 

 guliers et les périodes qui s'y rapportent. 



» IV. Les résultats précédents peuvent être généralisés d'un très grand 



