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nombre de manières que je ne puis songer à énumérer ici. Je me bornerai 

 à citer le résultat suivant : Une série dont le coefficient général est un poly- 

 nôme par rapport aux coefficients généraux d'un certain nombre de séries étu- 

 diables par les procédés du n° II est encore étudiable dans tout le plan par les 

 mêmes procédés. 



» Il est intéressant de comparer ces procèdes à d'autres méthodes pro- 

 posées par divers géomètres pour découvrir les singularités d'une série de 

 Taylor. On retrouve ainsi plusieurs résultats connus, mais surtout on géné- 

 ralise ces résultats en définissant des conditions à la fois très larges et très 

 précises pour que les méthodes en question réussissent. 



» J'ai été amené en particulier à m'occuper d'un théorème dû à M. lia- 



GO 



damard, d'après lequel la série Yj,,),,.-" n'a pas d'autres points singuliers 







que ceux que l'on obtient en multipliant l'affixe d'un point singulier de 

 Y«„;" par l'affixe d'un point singulier de V /„:"■ Les méthodes du n° II 



u 



conduisent à définir des cas très étendus où ce théorème permet l'étude 

 effective d'une série donnée. 



» V. Considérons le problème des moments posé par Stieltjes. Il consiste 

 à résoudre par rapport à o les égalités 



c/„ = / o(x)x" dx, 



pour toutes les valeurs entières et positives de n. J'en trouve une solution 

 bien déterminée dans des cas très étendus. La généralité est ici la même 

 que pour le problème du prolongement (n°III). La méthode suivie est, 

 d'ailleurs, toute semblable à celle dont j'ai donné un exemple au n° II. 



» VI. Les méthodes précédentes sont encore applicables à l'étude des 

 fonctions définies par certaines séries autres que la série de Taylor. On 

 parvient notamment à reconnaître, dans des cas étendus, si une fonction 

 définie par une série trigonométrique est ou non analytique. Le théorème 

 général indiqué au n° III reparaît encore ici, ainsi que toutes ses généra- 

 lisations. 



» VIL Les mêmes méthodes conduisent enfin, avec le même degré de 

 généralité et les mêmes conditions d'application, à une solution du pro- 

 blème des séries divergentes. En combinant ces méthodes avec celle que 

 M. Borel a indiquée, on arrive à donner un sens à une classe très vaste de 



