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 séries entières toujours divergentes, qui se trouvent, d'ailleurs, appartenir à 

 la catégorie des séries asymptotiques de M. Poincaré. On peut dire que les 

 théorèmes tels que celui du n° III donnent des caractères de sommabilité 

 des séries divergentes. Toute série dont le coefficient général oc ra est de la 

 forme T(pn +i)a„, a n étant étudiable par les procédés du n° II, est som- 

 meille et je conviens de dire qu'elle est d'ordre p. 



» Il suffit qu'une de ces séries vérifie formellement une équation diffé- 

 rentielle pour définir une solution effective de cette équation : cette solu- 

 tion pourra toujours être introduite dans le calcul par son développement, 

 bien que celui-ci soit divergent. 



» VIII. Je termine en indiquant la possibilité d'intégrer d'une façon 

 complète, au moyen de séries de Taylor convergentes ou divergentes, mais 

 toujours étudiables par les procédés précédents, les équations différen- 

 tielles linéaires dont les coefficients sont ries polynômes par rapport à la 

 variable. 



» Cela m'amène à énoncer que l'on peut faire l'étude complète, dans 

 tout le plan, des séries dont les coefficienls ot„ vérifient une équation 

 linéaire aux différences finies, quand les coefficients de cette relation 

 récurrente sont des polynômes en n. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les formes de différentielles invariantes 

 vis-à-vis de certains groupes. Note de M. Emile Cottox, présentée par 

 M. Darboux. 



« Dans cette Note, j'indique une méthode pour former des systèmes 

 d'expressions de Pfaff invariants vis-à-vis de certains groupes finis et con- 

 tinus, et j'applique les résultats à la théorie des ds 2 à trois variables 

 admettant un groupe continu de transformations. 



» I. Désignons par /,(c/.r) (i=i, 2 n) n expressions de Pfaff, 



n formes linéaires des différentielles dx k de n variables x k . Supposons ces 

 formes linéairement indépendantes. Soit /une fonction quelconque des x k , 

 exprimons la différentielle df&n moyen des l(dx) 



(1) df=Z i l i (dx)A i f. 



» Les coefficients A,/ sont des formes linéaires indépendantes des dé- 

 rivées dey"; nous les considérerons comme les svmboles de n transforma- 

 tions infinitésimales ainsi associées aux expressions de Pfaff données. Inver- 



