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 sèment on peut se donner à l'avance les n transformations infinitésimales A/ 

 et leur associer à L'aide de (i) n expressions de Pfaff /( dr). 



» Soit X/une transformation infinitésimale de la multiplicité ;r A . Prolon- 

 geons Xf; la transformation X ({) F(x, dx) obtenue est relative à la multi- 

 plicité x h , dx k . 



» Dans l'identité 



(2) dXf{x\^X^df{x), 



exprimons les différentielles df et dX/aa moyen de (1), il vient 



(3) Z A / A (<fo)(A A X)/= 2*A A /X<'>/*(»- 



Supposons tous les X'^/^dx) nuls, nous voyons que : 



» Siles n expressions de Pfaff admettent la transformation X (I) F, les trans- 

 formations A,/ sont e'e/iangeables avec X f et réciproquement. 



» Les propriétés des groupes finis et continus (') permettent d'énoncer 

 les conséquences suivantes du théorème précédent. 



» Soit G un groupe fini, continu, dont les transformations infinitési- 

 males Xjfne sont liées par aucune relation de la forme 



2 i y i (x i x a ...x n )X i f=o. 



Prolongeons une fois le groupe G, soit G (,) le groupe obtenu. On peut trou- 

 ver une infinité de systèmes de n expressions de Pfaff invariantes vis-à-vis 

 de&'\ 



» Toute forme de différentielles, invariant de G !n , s'exprime en fonction 

 homogène des l(dx), les coefficients étant des invariants de G. La recherche 

 des formes de différentielles, invariants de G ", revient à la recherche des trans- 

 formations infinitésimales échangeables avec celles de G. Si G est transitif, 

 tout revient à la détermination du groupe réciproque. 



» Ajoutons enfin que l'on peut adjoindre à tout groupe G et à tout sys- 

 tème l(dx), un ensemble de substitutions linéaires permettant de réduire 

 à des types canoniques simples les formes de différentielles, invariants 

 de G (,) . 



» II. Passons à la détermination des ds" à trois variables admettant un 

 groupe continu Y. Tout grouper admet un sous-groupe G de l'espèce pré- 

 cédente. On cherche donc : i° les types possibles de groupes G et les ds- 

 correspondants; 2 ceux de ces ds" admettant un groupe T plus grand 



(') Voir le Chapitre \\ du Tome I de l'Ouvrage de MM. Lie-En gel. 



