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 que G. M. Bianchi a traité complètement le problème pour les ds 2 définis 

 positifs ('). Je n'indiquerai donc que les ds 2 non compris dans cette caté- 

 gorie, et auxquels les considérations géométriques de M. Bianchi ne sont 

 plus applicables. Ces ds 2 sont réductibles à l'un des types suivants : 



(i) o(x,) [dx 3 -+- b(x, )dx. 2 ] 2 + 2 dx, dx.,, 



(2) a(x { )(dx 2 — x 2 dx 3 ) 2 -h 1 dx { [dx 3 -+- b(x,)(dx 2 — x 2 dx 3 )\, 



(3) a(x t ) dx'l -+- 1 dx t \dx 2 — x 2 dx 3 -+- b(x { ) dx,], 



(4) a(x,)(dx 2 3 -+- 2,dx,dx 2 ), 



(5) ce x <(dx 2 -+- x, dx 3 ) 2 -+- 2e 2 dx s dx 3 , 



(6) (c { e Ax <dx 3 -t- c 2 e x ^dx 2 f -+- i^^dx^dx^ ; 



c, c,, c 2 sont des constantes essentielles. 



» Les groupes de 1, 2, 3, 5, 6 sont respectivement les groupes a, b, b, 

 IV, VI du Tableau donné par M. Bianchi à la fin du Mémoire cité. Le</r(4) 

 admet le groupe a et en outre la transformation infinitésimale 



Al _ AL 



Xi d.r 3 X *dx t " 



» Le ds 2 (6) admet une quatrième transformation infinitésimale si c, est 

 nul; on peut alors supposer c 2 = 1 et prendre pour cette transformation 



e &-2)x t AL\ _,_( 2 _AW EL. 



» III. On peut utiliser les propositions du § I pour reconnaître si deux 

 variétés données à l'avance sont applicables et déterminer alors la trans- 

 formation de passage. Par exemple, si le groupe T d'une variété V est sim- 

 plement transitif, on peut déterminer algébriquement, à l'aide des cova- 

 riants de Christoffel, les transformations infinitésimales du groupe H 

 réciproque de T. On recounaîtra que deux variétés V et V de cette nature 

 sont applicables, en constatant l'identité de la structure des groupes corres- 

 pondants H et H', et l'égalité de certaines constantes. Si l'application est 

 possible, la transformation de passage est celle qui transforme H en H' ». 



(') Mémoires de la Société italienne des Sciences, 3 e série, Tome XI, p. 267. 

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