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et les plus hautes du Calcul intégral. Il commence par une étude appro- 

 fondie des travaux de Jacobi sur les équations aux dérivées partielles du 

 premier ordre, et se rencontre d'abord avec M. Mayer pour perfectionner 

 cette théorie en un point essentiel. Puis, en continuant l'étude de ce beau 

 sujet, il est conduit à construire progressivement cette magistrale théorie 

 des groupes continus de transformation qui constitue son œuvre la plus 

 importante et dans laquelle il n'a été, au moins au début, aidé par per- 

 sonne. L'analyse détaillée de cette vaste théorie nous entraînerait trop loin. 

 Il convient néanmoins de signaler d'une manière toute particulière deux 

 éléments tout à fait essentiels de ces recherches : d'abord l'emploi des 

 transformations de contact qui jette une lumière si vive et si inattendue 

 sur les parties les plus difficiles et les plus obscures des théories relatives à 

 l'intégration des équations aux dérivées partielles, ensuite l'emploi des 

 transformations infinitésimales. L'introduction de ces transformations ap- 

 partient entièrement à S. Lie; leur emploi, comme celui de la variation dû 

 à Lagrange, est de nature à étendre beaucoup la notion de différentielle et 

 les applications du Calcul infinitésimal. 



» La constitution d'une théorie si étendue n'a pas suffi à l'activité de 

 M. Lie. Pour en montrer toute l'importance, il l'a appliquée à un grand 

 nombre de sujets particuliers, et, chaque fois, il a eu la bonne fortune de 

 rencontrer des propriétés élégantes et nouvelles. Je m'attacherai de pré- 

 férence aux recherches qu'il a publiées à partir de 1876 sur les surfaces 

 minima. La théorie de ces surfaces, la plus attrayante peut-être qui se pré- 

 sente en Géométrie, attend encore, et attendra peut-être longtemps /.la 

 solution complète du premier problème que l'on doit s'y proposer, à savoir 

 la détermination de la surface minima passant par un contour donné. 

 Mais, en revanche, elle s'est enrichie d'un grand nombre de propositions 

 intéressantes dues à une foule de géomètres. En 1866, Weierstrass a 

 fait connaître un système de formules très précis et très simple qui a pro- 

 voqué toute une série de nouvelles études sur ces surfaces. Dans ses tra- 

 vaux, Lie revient simplement aux formules de Monge; il en donne l'inter- 

 prétation géométrique et montre comment leur emploi peut conduire à 

 la théorie la plus satisfaisante des surfaces minima. Il fait connaître des 

 méthodes qui permettent de déterminer toutes les surfaces minima algé- 

 briques d'une classe et d'un ordre donnés. Enfin, il étudie le problème 

 suivant : déterminer toutes les surfaces minima algébriques inscrites dans 

 une développable algébrique donnée; et il en donne la solution complète 



