( 545 ) 

 par la transformation (3), où / et g sont indéterminées; soit par les opé- 

 rations différentielles représentées par ( -~- \ et [-j-)> mais sans dépasser 



l'ordre maximum des $ p . Si, en les combinant, on en obtient un d'ordre 

 zéro, ce sera une intégrale de (i), et l'on sera ramené au problème analogue 

 pour une variable indépendante de moins, qu'on traiterait de même. 

 Écartant ce cas, on a, en définitive, un système d'invariants de L/ 



< !» ^.^^•••'^^'•••'^^'•••J (« = 1.2,..., 7), 



indépendants de u et e, et tels que, par toute transformation (3), on aitdcs 

 formules 



Ja='{'o(J., J 2 . J ? » U,V) (<ï = I, 2 (/). 



» Considérant alors un système différentiel de la forme 



(5) 3 a —ta a (u, c) (<r=i, 2, .. .,q), 



on démontre les résultats suivants : 



» (a). La recherche des conditions d'intégrabililé de ce système, si elle 

 ne fournit pas des intégrales de (i), dont on ferait l'usage indiqué plus haut, 

 conduit uniquement à un système complètement intégrable (S), liant les 

 fonctions id c à leurs dérivées. 



» (b). A toute solution de (1) correspond un système (5) complète- 

 ment intégrable, et dont la solution générale se déduit d'une solution par- 

 ticulière quelconque par la transformation générale d'un sous-groupe (G) 

 du groupe infini (3), cette solution générale et cette transformation géné- 

 rale avant le même degré de généralité. On obtient ainsi tous les groupes 

 (G) d'un même type (ï); et réciproquement la connaissance des équations 

 de définition d'un groupe (G) de ce type entraine la connaissance de la 

 solution correspondante de (2). 



» (c). Les J a sont des invariants d'un sous-groupe (r) du groupe géné- 

 ral des transformations 



(6) 1 = 1, x = X(a?, y, t), y=Y{x,y,t), 



qui laissent invariante l'équation (ï). Ce groupe (r), si l'on y considère t 

 comme une constante arbitraire, est du tvpe (T). On peut donc consi- 

 dérer comme connus tous les systèmes (5), complètement intégrables. 



