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» En étudiant les diverses méthodes, proposées dans les recherches 

 remarquables de M. Poincaré, M. Liapounoff, M. Le Roy, etc., parues en 

 ces derniers temps, j'ai réussi à les perfectionner et, en les combinant 

 convenablement, à résoudre les problèmes fondamentaux de la Physique 

 mathématique d'une façon simple et rigoureuse, sans aucune supposition 

 douteuse et sans supposer connu le principe de Dirichlet. 



» Je crois qu'il n'est pas inutile de publier mes pensées sur ce sujet. 

 Soit v un potentiel de la simple couche de masse totale nulle, répandue à 

 la surface fermée (S), ayant partout un plan tangent et la courbure finie 

 et déterminée. 



» Désignons par A l'intégrale / V ( -~ ) dz, étendue à tous les éléments 



de volume dz du domaine intérieur à (S), par B l'intégrale / T! ( y- ) dz', 



étendue à tous les éléments de volume dz' du domaine extérieur à (S). 

 Nous considérons seulement les surfaces pour lesquelles ces intégrales ont 

 un sens déterminé et a lieu le théorème suivant : 



» Le rapport 77 a une limite supérieure finie et une limite inférieure différente 



de zéro. J'appellerai ce théorème théorème fondamental. 



» D'après les recherches ingénieuses de M. Poincaré, on sait que ce 

 théorème a lieu si la surface (S) admet la transformation de M. Poincaré, 

 et, pour le démontrer d'une façon rigoureuse, il n'est pas nécessaire de sup- 

 poser connu leprincipe de Dirichlet. Il est plus que probable que ce théorème 

 est vrai dans les cas beaucoup plus généraux. 



» Soit W une fonction finie et coutinue dans tout l'espace, ayant les 

 dérivées du premier ordre et satisfaisant à la condition 



limRW<K, 



où K. est un nombre assignable, R est la distance des points x, y, z à l'ori- 

 gine des coordonnées. On peut démontrer sans peine le lemme suivant : 

 » Le rapport 



f\V*ds 



où ds désigne l'élément de la surface (S), est toujours plus grand qu'un 

 nombre Qfini, différent de zéro, ne dépendant r/ue de la configuration de la 

 surface (S). 



