( 5 9 i ) 

 tétant un nombre fini et positif. A l'aide de celte inégalité nous démon- 

 trerons ensuite par la méthode de M. Liapounoff, indiquée dans son Mé- 



moire déjà cité, que la série 2^ p A converge absolument et uniformément sur 



h = 



(S) (sous certaines conditions assez générales par rapport à p ). En sup- 

 posant enfin que p est toujours positif sur (S), nous démontrerons, comme 

 à la fin de ma Note déjà citée (Comptes rendus, i3 déc. 1897), que 

 p = lim p A est la densité d'une couche superficielle sans action sur un point inté- 

 rieur. 



» Nous pouvons donc considérer comme démontrée en toute rigueur la 

 proposition suivante : La méthode de M. Robin résout le problème de Neu- 

 mann et celui de la distribution électrostatique pour toute sur/ace (S), pourvu 

 que le théorème fondamental lui soit applicable. 



» Il me reste encore à considérer le problème de Dirichlet, les fonctions 

 fondamentales de M. Poincaré(Ed. Le Roy), la méthode de Neumann, etc.; 

 c'est ce que je ferai, si l'Académie me le permet, dans une Note prochaine. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur le prolongement analytique. 

 Note de M. E. Goursat, présentée par M. Picard. 



« Une Note récente de M. Picard sur le prolongement analytique 

 (Comptes rendus, t. CXXVIII, p. 193) m'a conduit à examiner la question 

 suivante. Soit F(s, z') une fonction analytique des deux variables com- 

 plexes -, z', représentée par un développement 



(,) F(z,z')*=2A mn (z—a) m z'", 



ordonné suivant les puissances positives de z — a et de z' , et convergent à 

 l'intérieur du domaine défini par les inégalités 



\s — a\<r, \z' p, 



r et p étant deux nombres positifs déterminés. Quand on fait dans ce dé- 

 veloppement z' --= o, on obtient une fonction cp(z) de la seule variable z 

 qui est évidemment holomorphe dans le cercle de rayon r décrit du point 

 z — a comme centre. Supposons maintenant que les variables z et z' che- 

 minent simultanément dans leurs plans respectifs, la variable ,3 le long d'un 

 arc de courbe AB partant du point z = a et aboutissant au point z - b, et 



