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la variable z le long d'une courbe fermée partant de l'origine et y reve- 

 nant, et cela de telle façon que l'on puisse poursuivre le prolongement 

 analytique de F( s, s' i sans être arrêté. On obtiendra à la fin un nouveau 



développement 



2B„,„(> -b)'»z">, 



convergent dans un certain domaine défini par les inégalités 



\z-b\<r, \z'\< ? ', 



et qui se réduira, pour z' =^ o, à une fonction <j/(s) de la seule variable z, 

 holomorphe dans le voisinage du point z = b. On peut se demander s'il 

 existe quelque relation entre les fonctions f(z) et <]/(:;), ou, en d'autres 

 termes, si, la fonction <p(s) étant donnée, on peut choisir ^(z) arbitraire- 

 ment. Il est à peu près évident qu'il en est ainsi lorsque les domaines 

 d'existence des fonctions 9(2) et <\>(z) ont une partie commune, mais, 

 lorsque ces domaines d'existence n'ont aucune partie commune, la ré- 

 ponse ne parait pas aussi immédiate. Un exemple très simple, qu'il serait 

 bien facile de généraliser, prouve que, dans ce cas encore, les fonctions 

 <p(z) et ty(z) peuvent être quelconques. 

 » Soient 



une série convergente pour | z | <[ 1, et 



une autre série convergente pour | c 1. Nous ne supposons rien sur 

 l'existence de la fonction <p(s)en dehors du cercle C de rayon un décrit de 

 l'origine comme centre, ni sur l'existence de '\>(z) à l'intérieur de ce 

 cercle. Posons, z' étant une nouvelle variable complexe, 



n = 1 n = I 



» Soit ii une région du plan des z à contour simple ne renfermant pas 

 l'origine, et Q' une région du plan des ;' à contour simple ne renfermant 

 pas le point z -1. Si, pour tout point :■ pris dans la région Sï et tout 



