( 5 9 4 ) 

 nous indiquerons quelques-unes dans la présente Note (*), après avoir 

 rappelé la signification de certaines notations adoptées dans le calcul des 

 substitutions linéaires. 



» 1. Par la composition ordinaire des formes bilinéaires, considérée 

 d'abord par M. Frobenius ( 2 ), en partant des deux formes 



A, = la' ij .x l ii J , A a = la'jXiUj (i,j = i, 2, .. ,,m), 



on obtient comme résultat la forme 



A < A * = 2, ôïï; ôt; - =:La ig a gj x i a J (g^'J^ 1 '* m )- 



De même, en posant A = S^a^u,-, E == 2 #,«,-, on a AE = EA = A. Dans 

 cette théorie, on considère aussi les formes A* = AA, A 3 — A 3 A, .... et, en 

 général, des fonctions entières <p(A) = 2CpA p de A, en convenant que 

 A 4 = A, A° = E. 



» Le déterminant | ?(A) — 1E | de la forme <p(A) — XE a pour racines 

 les m valeurs de ?(£,) correspondant aux m racines de l'équation 



|A-XE| = -(E — X) = Q. 



Cette propriété est susceptible de certaines généralisations qui seront 

 indiquées bientôt et qui permettent d'obtenir la solution d'intéressants 

 problèmes d'élimination. 



» 2. La composition bialtcrnèe de deux formes bilinéaires A, et A 2 con- 

 duit à la nouvelle forme 



A , A a = A 2 A, = in;;^,^,, (i,j = 1.2,.. „m), 

 où nous avons posé 



«)'!■'= — : (a, .■ a" i — a', ,■ a" ,■ — «' ,■ a",- ■+- a] , /■/,",- ), 



M /,y, = «/, «Â - u /X U *<!*)• 



» De même, si l'on pose symboliquement «,-xy au lieu de 0,7, le produit 

 bialterné de s(Sm) formes bilinéaires A,, A 2 A„ qui ne dépend pas de 



(') Nous avons développé ces propriétés dans un Mémoire qui sera publié prochai- 

 nement dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées. 

 {"■) Journal de Crelle, t. 8V, p. 1; iX-s. 



