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 de zéro, et cette simple remarque a conduit Liouville à des conséquences 

 importantes relativement à l'approximation des nombres algébriques par 

 des nombres rationnels. On peut aisément étendre ces considérations à 

 l'étude de l'approximation des nombres algébriques par des nombres 

 algébriques; il suffit de remarquer que le résultant de deux polynômes à 

 coefficients entiers est un nombre entier et que, par suite, si les deux 

 polynômes sont irréductibles, la valeur absolue du résultant est au moins 

 égale à un. Considérons dès lors un nombre algébrique a. racine d'une 

 équation irréductible de degré n, et cherchons à déterminer les coefficients 

 (entiers) d'une équation irréductible de degré r, de manière qu'une ra- 

 cine (3 de cette équation diffère de x d'une quantité moindre que le nombre 

 positif donné e. Nous serons obligé de prendre les coefficients d'autant 

 plus grands que e sera plus petit; le résultat que nous voulons énoncer est 

 le suivant : a et r étant donnés, la somme des valeurs absolues des coefficients 

 est constamment supérieure à Me -11 , M et y. étant des nombres fixes qu'il serait 

 aisé de calculer. 



» Le théorème de Liouville est relatif au cas oùr=j; \j. est alors égal 



à -• On pourrait aussi supposer r variable; il faudrait alors, au lieu de 



considérer la somme des valeurs absolues des coefficients, considérer cette 

 somme augmentée de r, ou d'une fonction positive de /', et l'on aurait des 

 théorèmes analogues. 



» 2. On sait, depuis la publication du Mémoire célèbre de M. Hermite, 

 que le nombre e ne peut être racine d'une équation algébrique à coeffi- 

 cients entiers. On peut se proposer d'approcher du nombre e, soit par des 

 nombres rationnels, soit par des nombres algébriques de degré déterminé. 

 On trouve ainsi des résultats qui, sans être identiques à ceux que nous 

 venons de rappeler, leur ressemblent beaucoup et établissent ainsi un 

 rapprochement curieux entre le nombre e et les nombres algébriques. 



» Reprenons, pour fixer les idées, le polynôme irréductible P(a-), de 

 degré n, à coefficients entiers. Si l'on pose, avec M. Hurwitz (Comptes 

 rendus, i8o,3), 



f( x ) = <jz-[ji xP ~'( i - *>'<> - *y- ■ • o - x )"' 



F(a?) = i (x) -*-/'(*)+/*(*) +.-.. 



v(x) = ;.:„-)- c M x- + CoX- ! + ...+ c n sc n , 



on obtient 



F(o)P(e) = A+'e„ 



