( 5 9 8 ) 

 A étant un nombre entier essentiellement différent de zéro, et i p tendant 

 vers zéro lorsque p augmente. 



» Cette formule est tout à fait analogue à celle que nous avons rappe- 

 lée q"V(-\ =À. Il s'agit seulement d'évaluer l'ordre de grandeur de 



F(o), lorsque p est pris assez grand pour que \i p \ soit inférieur à un 

 nombre plus petit que un, de manière que | A -+- i p | soit supérieur à un 

 nombre assignable. M. Hurwitz prend pour p un nombre premier plus 

 grand que C et que n; on constatera aisément qu'il suffit que p soit plus 

 grand que n et premier avec C . Si l'on suppose que les nombres C aug- 

 mentent indéfiniment, et que l'on cherche à prendre p le plus petit pos- 

 sible, le cas le plus défavorable est évidemment celui où C est le produit 

 2 . 3 . 5 . 7 . 1 1 . i3 ... ^ de nombres premiers se suivant dans l'ordre na- 

 turel, à partir de i. Il faut alors prendre pour p un nombre premier supé- 

 rieur à q. La valeur de p fournie par cette considération satisfait d'ailleurs, 

 lorsque C est assez grand (n est fixe), à la condition que nous avons énon- 

 cée relativement à i p . On est ainsi conduit au résultat suivant : 



» Le nombre n étant donne, si l'on cherche à déterminer les cocjficienls du 

 polynôme P(a?) de manière que P(e) soit inférieur à t, la somme de leurs va- 

 leurs absolues est constamment supérieure à Me - " 1 , M étant un nombre fixe et 



p. défini par la relation - = log log - • (M et k sont des constantes. ) On voit 



que ce résultat se rapproche de celui que nous avons énoncé pour les 

 nombres algébriques, bien qu'ici [/., au lieu d'être constant, tende vers 

 zéro avec e ; mais la décroissance de \j. est infiniment moins rapide que celle de z. 



» 3. Il serait aisé de généraliser ce résultat, et d'énoncer des proposi- 

 tions applicables à tous les nombres algébriques en e, c'est-à-dire racines 

 d'équations dont les coefficients sont des polynômes en e à coefficients en- 

 tiers. Il y aurait lieu de chercher à les étendre aussi dans la direction qui 

 est naturellement suggérée par la lecture du beau travail de M. Lindcmann 

 et du Mémoire de Weierstrass (Sitzungsberichte der lierliner Académie. 

 i885). 



» 4. On remarquera, sans qu'il soit nécessaire d'y insister, la relation 

 qu'il y a entre les résultats ici obtenus et les sujets de recherches que j'ai 

 indiqués dans une Note récente. Des considérations analogues aux pré- 

 cédentes s'appliqueront toutes les fois que l'on aura prouvé qu'une équa- 

 tion ne peut avoir lieu, en s'appuyant sur ce qu'un nombre entier non nid 

 diffère de zéro d'une quantité finie. En étudiant de près la démonstration, 



