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 on constatera que, non seulement elle prouve que le premier membre de 

 l'équation considérée diffère de zéro, mais qu'elle donne de plus une 

 limite inférieure de cette différence. » 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les réseaux conjugués dont les courbes 

 d'un système sont des géodésiques.'Nole de M. C Guichard, présentée 

 par M. Darboux. 



« J'appelle réseau G un réseau composé d'une série de géodésiqucs 

 d'une surface et de leurs courbes conjuguées; soient alors u et v les para- 

 mètres qui définissent les courbes du réseau; les courbes v = const. étant 

 les géodésiques; x t , x.,, x 3 les coordonnées rectangulaires d'un point du 

 réseau; x,, x 2 , x 3 sont solutions d'une équation de la forme 



v ' > du àv du v do 



Cette équation admet une quatrième solution E, telle que 



dx] -+- dx 2 +- dx\ 4- de, 2 = l 2 dv 2 . 



Cette propriété caractérise les réseaux G. 



» J'appelle congruence G toute congruence parallèle à un réseau G; 

 une congruence G est formée par les tangentes à une série de lignes de 

 courbures d'une surface. Soient X,, X 2 , X 3 des quantités proportionnelles 

 aux cosinus directeurs d'une droite qui décrit une congruence G; soit 



( 2 \ ^-L^l^_(_-__ + R0 



v ' Ou de h d- du l du dv 



l'équation de La place qui admet comme solutions X,, X 2 , X s ; on aura 



X;4-X;;-+-X; = / 2 V 2 , 



V étant fonction de v seul. 



» D'une manière générale, un réseau pG est l'un des réseaux focaux 

 d'une congruence /;0; une congruence pG est formée par les tangentes 

 à un système de courbes d'un réseau pO. 



» Toute congruence parallèle à un réseau p G est pG et inversement. 



» Voici les propriétés qui caractérisent ces réseaux et ces congruences : 



» L'équation (i), à laquelle, satisfont les coordonnées a?,, ar 2 , x 3 des points 



