( 6oo ) 



d'un réseau pG, admet en cuire p solutions £,, E._>. . . . , l p , tel/es que 



p 

 dx\ i- dœ\ h- dx\ \- ^ d\r ; = / 2 rfip 2 . 



i 



» L'équation (2), à laquelle satisfont les paramètres directeurs X,. X 2 , X, 

 r/r.v droites d'une congruence pG, admet en outre p — 1 solutions, Ç,, E s . ... 



» J'appellerai congruence II une congruence dont l'un des réseaux 

 focaux est un réseau C; d'une manière générale, une congruence pli est 

 une congruence dont l'un des réseaux focaux est pC; de même un réseau pR 

 est l'un des réseaux focaux d'une congruence pC 



» Toute congruence parallèle à un réseau pR est pU et inversement. 



» Considérons une congruence H dont les réseaux focaux sont les 

 réseaux (M) et (F); le réseau M étant le réseau C. Ce réseau (M) est 

 applicable sur un réseau M' ; à la tangente MF correspond une tan- 

 gente M' F' qui décrit aussi une congruence H; appelons (F') le second 

 réseau focal de cetle congruence. Les longueurs MF et M'F' sont égales; 

 prenons sur ces droites des longueurs égales MN, M'N': désignons par Y,, 

 Y 2 , Y, les coordonnées de N, par Y',, Y'.,, Y' 3 celles de N'; on aura, en sup- 

 posant cpie MF soit tangente aux courbes de paramètre v du réseau (M), 



y f^LV— y (ÇH-Y v <] 1 ^ Y — y dY ' dT 



2* \d('J ~~ 2a \ dv / Jimà du dv " 4-à du dv ' 



» Enfin, si l'on désigne par Z,, Z.,, Z 3 les coordonnées de F, par Z' ( , Z',, 

 Z, celles de F', on aura 



,.,. \ 2d\di>) -ilji'j' Zàdu. dv~~2idu dt>' 



» Il en résulte que, sur les surfaces F et F', les courbes correspon- 

 dantes de paramètre u ont même longueur et môme rayon de courbure 

 aux points correspondants. 



» Réciproquement, si deux réseaux F et F', qui correspondent à la 

 même équation de Laplace, satisfont aux conditions (3), les tangentes 



