( 6o4 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur 1rs théorèmes de Greeneet de Cauchy. 

 Note de M. Chessin, présentée par M. Poincaré. 



« Dans les démonstrations connues du théorème de Cauchy sur la valeur 

 de l'intégrale if(z)dz le long d'un contour fermé, la continuité île la fonc- 

 tion dérivée f '(z) forme unepartdes hypothèses admises. Or, on peut dé- 

 montrer ce théorème sans faire sur la nature de /'(-) des hypothèses aussi 

 strictes. Il y a donc lieu de se proposer le problème suivant : 



» Quelles hypothèses sur l'existence ou la nature def'(z) sont nécessaires et 



suffisantes pour que lf(z)dz = o, l'intégrale étant formée le long du contour 



d'un domaine simplement connexe (D) dans lequel f(z) est uniforme et con- 

 tinue? 



» L'objet de la présente Note est d'indiquer des conditions suffisantes 

 très générales. 



» Nous allons d'abord formuler des conditions analogues pour le théo- 

 rème de Greene, d'où l'on arrivera directement aux conditions pour le 

 théorème de Cauchy. 



» Théorème de Greene. — Soient P et Q des fonctions uniformes et con- 

 tinues des deux variables réelles a; et y; admettons que ■*— et -,— existent 



J n oy ùx 



en chaque point d'un domaine simplement connexe (D) et que y- — — -; 



si, de plus, . (et par suite -y- J est intégrable dans ce domaine, superfi- 

 ciellement aussi bien que partiellement par rapport à x et y; alors, l'inté- 

 grale / Pdx -\- Qdy formée le long du contour de (D) s'évanouit. 

 » On sait que cela suit de l'égalité 



Or, la. valeur de l'intégrale double qui figure en (i) ne sera pas changée 

 si, tout en admettant que 



?|, IS <N , 

 oy I | <> >• 



