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 N étant une quantité fixe, on ne fait nulle autre hypothèse ni sur l'exis- 

 tence, ni sur la nature des fonctions y- > y^ pour un ensemble de points 

 dont l'étendue superficielle soit o. Un tel changement n'affectera pas non 

 plus la valeur de l'intégrale / P dx -f- Q dy. Nous pouvons donc énoncer 



le théorème de Greene comme il suit : 



» Soient P et Q des fonctions uniformes et continues des variables 

 réelles x et y ; admettons que, sauf, peut-être, pour un ensemble de points 



àP dO 

 d'étendue superficielle o, les fonctions —, — existent et satisfont l'équa- 

 tion - - = -~, tout en satisfaisant la condition (2) dans le domaine 



oy ox x y 



entier (D); si, de plus, -— (et, par suite, — - j est intégrable dans ce 



domaine; alors l'intégrale jPdx-hQdy formée le long du contour 

 de (D) s'évanouit. 



» On peut aller plus loin. En effet, l'intégrale double qui figure dans (1) 



aura encore un sens si l'une des fonctions -. -, -^, ou toutes àeux étaient 



oy ox 



infinies en des points ou sur des lignes isolées; ceci, à cause de la continuité 



des fonctions P et Q dans le domaine entier. Il s'agit donc de trouver le 



système le plus général de points qui soit réductible à des points et lignes 



isolés. Or on sait, d'après M. G. Cantor, qu'un ensemble linéaire E de 



points est réductible (c'est-à-dire réductible à des points isolés) s'il existe 



un nombre fini ou transfini <x tel que E (a, = o. On peut généraliser cette 



notion d'ensembles réductibles comme il suit • 



» Soit E un ensemble de deux dimensions. S'il existe un nombre fini ou 

 transfini a tel que E (a) se réduit à des points formant des ensembles 

 linéaires irréductibles; si, de plus, les lignes porteurs de ces ensembles 

 irréductibles forment elles-mêmes un ensemble £ réductible de lignes, 

 c'est-à-dire s'il existe un nombre fini ou transfini tel que f. ( P>= o, nous 

 dirons que l'ensemble E est réductible. 



» Cela posé, il est aisé de" voir que le théorème de Greene subsiste encore si 



l'on ne sait rien sur l'existence ou la nature des fonctions 3— , ~- en des points 

 ou sur des lignes formant un ensemble réductible. 



» D'ici au théorème de Cauchy il n'y a qu'un pas. On arrive donc au ré- 

 sultat suivant : 



» SoitJ(z) = u + iv une fonction uniforme et continue de la variable com- 



