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» Prenons le cas, étudié par M. Rafïy, où le réseau doublement cylindre 

 est formé de lignes de courbures. Tout revient, d'après ce qui précède, à 

 trouver les surfaces dont les tangentes de courbure rencontrent chacune 

 une courbe fixe. La congruence qui a pour focales ces deux courbes fixes 

 sera cyclique. On est donc ramené au problème suivant : Trouver toutes 

 les congruences cycliques dont les focales sont des courbes. 



» On trouve facilement que l'une des focales est une courbe plane et 

 l'autre une droite perpendiculaire au plan de la première, ce qui permet- 

 trait de résoudre la question. 



» Mais on peut se placer à un autre point de vue. Si les tangentes aux 

 lignes de courbure d'un système rencontrent une courbe fixe, les lignes de 

 courbure de l'autre svstème sont des cercles géodésiques (Darboux, Leçons, 

 3 e Partie, p. 121). Donc : Les surfaces doublement cylindrées suivant leurs 

 lignes de courbure sont celles qui admettent la même représentation sphêrique 

 des lignes de courbure que les surfaces, déterminées par M. Bonnet, qui ont. 

 pour lignes de courbure des cercles géodésiques. 



» Il résulte de ce qui précède que ces surfaces possèdent la propriété 

 suivante : Sur chaque, nappe de la surface des centres les conjuguées des géodé- 

 siques sont des courbes planes. 



» Les propriétés générales des réseaux A, montrent que de chacune de 

 ces surfaces on peut déduire une infinité de surfaces, dépendant d'une 

 fonction arbitraire, telles que les lignes de courbure d'un seul système 

 soient des cercles géodésiques. 



» On n'a pas étudié, je crois, les surfaces qui possèdent cette dernière 

 propriété. Je me propose d'indiquer, dans une prochaine Note, comment 

 on résout ce problème. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques propriétés arithmétiques des jonc- 

 tions analytiques. Note de M. Paul Staeckel, présentée par M. E. 

 Picard. 



« L'équation g{x, y) = o, g(x, y), étant un polynôme à coefficients 

 rationnels, possède la propriété importante de donner, pour chaque valeur 

 algébrique de la quantité x, seulement des valeurs algébriques de y et, vice 

 versa, pour chaque valeur algébrique de y, seulement des valeurs algé- 

 briques de x. On serait bien tenté de croire que cette réciprocité constitue 

 un caractère exclusif des fonctions algébriques y de l'argument x. Cepen- 



