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dant il n'en est rien, c'est-à-dire qu'il existe une infinité de fonctions analy- 

 tiques transcendantes douées de la même propriété. 



m Attribuons, à l'exemple de M. G. Cantor, à toute fonction numérique 

 irréductible de x 



fl a;"-^-a,a;"- , -(-.. .+-a n _ t x +■ <i„. 



comme hauteur le nombre entier positif 



h = n — i -f- | a !h- I a t | ■+- . . . -+- 1 tr n . , | -+- \a n \. 



» Le produit de toutes les fonctions de même hauteur h est une fonction 

 entière de a? à coefficients entiers que je désignerai par f,,(x); on aura 

 f K (or') — x. Formons les produits 





(x)=J]/;.(.r) (A = 1,2, 3, ...), 



X = i 



dont les degrés soient S/, et définissons les nombres entiers \>. h par les rela- 

 tions y., =. o et 



H= H-t ■+■ V-i- 



» Cela posé, considérons l'équation 



(A) y- x -f-JJ u 6 <P v -'-gh(n)y H gh {y) = o ; 



les quantités u,, u 2 , . . . sonldes nombres rationnels tous différents de zéro 

 que l'on peut choisir de manière que la série (A) soit toujours conver- 

 gente. La quantité y est une fonction transcendante de x; en effet, x étant 

 égalée à un nombre algébrique, le premier membre de l'équation (A) se 

 réduit à un polynôme en y, dont le degré peut dépasser tout nombre donné. 

 De plus, y étant égalée à un nombre algébrique, on n'obtient que des 

 valeurs algébriques de x. Donc y est une fonction analytique transcen- 

 dante de x qui possède la propriété requise. 



» L'équation (A) étant satisfaite par x = o, y = o, il existe une série de 

 Taylor 



(B) y = x -+- c» x 2 -+- c 3 x 3 ■+■ . . . 



qui représente un élément de la fonction analytique y définie par l'équa- 

 tion (A). Or, //,, //„. . . . sont des nombres rationnels; par conséquent, les 

 coefficients r 2 , c 3 , ... sont aussi des nombres rationnels. Qu'une série de 



