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 de M. Guichanl réalisent donc un progrès, puisqu'ils rattachent l'étude de 

 la déformation de quadriques ayant cette fois leur centre à distance finie à 

 celle de la déformation de la sphère sur laquelle on a, comme on sait, 

 obtenu un grand nombre de résultats intéressants. Je voudrais, dans cette 

 Note et dans les suivantes, montrer que les propositions générales données 

 dans mes Leçons sur la théorie des surfaces conduisent, par leur simple 

 application, aux théorèmes de M. Guichanl. Les considérations très di- 

 rectes et très simples par l'emploi desquelles on obtient ces théorèmes 

 conduisent même à un résultat plus étendu et montrent qu'on peut ratta- 

 cher à la déformation de la sphère, non seulement la déformation des sur- 

 faces de révolution du second degré, mais aussi celle de quadriques plus 

 générales assujetties à l'unique condition d'être tangentes en un point au 

 cercle de /' infini. On sait que les surfaces de révolution doivent être tan- 

 gentes en deux points en ce cercle. Les surfaces que je considère peuvent 

 encore être définies par la propriété suivante : Tandis que les quadriques 

 générales ont leur élément linéaire réductible à la forme 



ds- = (« — v) 



(tu 1 c/r- 



" 2A (;i "Mi 



où A (s) désigne un polynôme du troisième degré à racines distinctes, les 

 surfaces dont nous rattachons la déformation à celles de la sphère sont 

 celles pour lesquelles A(s) a une racine double. L'élément linéaire corres- 

 pondant, on le voit tout de suite, peut être réel, il convient donc ta une in- 

 finité de surfaces réelles. La recherche dont je vais faire connaître le prin- 

 cipe aura donc nécessairement ses applications dans le domaine réel. 



» Considérons d'abord une surface (0) applicable sur une qua- 

 drique (Q) de révolution, et envisageons le mouvement étudié pour la 

 première fois par Ribaucour, dans lequel la quadrique (Q) roule sur (o), 

 les deux surfaces étant toujours en contact par leurs points correspon- 

 dants. Parmi les propositions relatives à ce mouvement, je rappellerai la 

 suivante (n os 925 et suiv.) (■*) : 



« Lorsque la surface (Q) roule sur (h), un plan (n), invariablement lié 

 à (Q), coupe le plan de contact de (0) et de (Q), suivant une droite (d) qui 

 engendre une congruence. Les dèveloppables de celle congruence correspondent 

 aux courbes^du système conjugué commun à ( '©) et à (0), et les points focaux 



(') Les numéros de renvoi su rapporteront toujours à mes Leçons. 



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