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de la droite ( d) se trouvent sur les tangentes aux deux courbes de ce système 

 conjugué commun qui passent par le point de contact M. 



» En particulier, si le plan (II) est isotrope, la droite (d) demeure nor- 

 male à une famille de surfaces parallèles dont les lignes de courbure corres- 

 pondent aux courbes du système conjugué commun ; les deux centres de cour- 

 bure situés sur(d) sont à la rencontre des deux tangentes conjuguées com- 

 munes ti (<->) et ri (Q), menées au point de contact M. De plus, toute droite 

 isotrope située dans le plan (II) et entraînée dans son mouvement coupe la 

 droite en un point <i qui décrit précisément une des surfaces normales à la 

 droite. 



» \ppliquons ce théorème au cas particulier que nous avons en vue, 

 où (Q) est une quadrique de révolution. Parles deux sommets A, A', situés 

 sur l'axe de révolution, passent quatre génératrices rectilignes de la sur- 

 face, et ces génératrices, deux à deux parallèles (</) et (d, ) en A, (d') 

 et (d\) en A', sont isotropes. Soient a, a', a,, a\ les quatre points où ces 

 génératrices coupent le plan tangent commun en M. Les droites paral- 

 lèles (d), (d') se trouvent dans un plan isotrope (H) passant par l'axe A A' ; 

 de même les droites (</,), (d\) se trouvent dans le second plan iso- 

 trope (II,) passant par le même axe. D'après la proposition précédente a, a' 

 décriront des surfaces (a), (a') normales à la droite aa! ' ; et de même («,), 

 (a\) décriront des surfaces (a,), (a\) normales à la droite a t a\. Nous 

 allons montrer que ces quatre surfaces (a), («'), (a, ), («',) ont leur cour- 

 bure moyenne constante et égale à -, ce qui est l'un des théorèmes de 



M. G nichai d. 



» Remarquons en effet que les quatre points a, a', a t , a, se trouvant sur 

 des génératrices rectilignes de (Q), doivent nécessairement se placer sur 

 la section de (Q ) par le plan langent en M. Donc les droites aa\, a' a, se 

 croisent en M et sont les deux génératrices de (Q) situées dans le plan tan- 

 gent commun. 



» D'autre part, d'après la proposition rappelée plus haut, les centres de 

 courbure s, s, des surfaces normales à aa' sont situés sur deux tangentes 

 Me, Me, conjuguées communes à (Q ) et à ( 0). Puisqu'elles sont conjuguées 

 par rapport à (Q ), elles le sont pur rapport aux génératrices Ma, Ma'. Donc 

 les deux segments ss, et aa' se divisent harmoniquement. Cette propriété 

 suffit : Si deux surfaces parallèles divisent harmoniquement le segment forme 

 par leurs centres de courbure principaux, elles ont leur courbure moyenne 

 constante et égale au double de l'inverse de leur dislance constante. 



