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» Ici il est très aisé de voir que aa' est égal à l'axe focal AA'. En effet les 

 deux droites isotropes (d) et (d') sont parallèles et situées dans le plan 

 isotrope (II). Donc la dislance de deux points pris respectivement sur les 

 deux droites sera constante quels que soient ces deux points et, en parti- 

 culier, elle sera égale à AA'. 



» Avant d'établir les autres théorèmes relatifs aux quadriques de révo- 

 lution, je ferai remarquer que le raisonnement précédent conduit à une 

 généralisation évidente si l'on suppose que la quadrique (Q ) soit tangente 

 en un seul point au cercle de l'infini, elle aura encore deux génératrices 

 rectilignes isotropes parallèles situées dans un plan isotrope. Ce seront les 

 deux droites (d), {d ) situées dans le plan isotrope qui est tangent à la 

 surface en son point de contact avec le cercle de l'infini. Nous pouvons 

 donc énoncer le résultat suivant : 



» Quand une quadrique (Q) tangente en un point au cercle de l'infini 

 loule sur une surface applicable^)), les deux génératrices isotropes qui passent 

 par le point de contact de la quadrique et du cercle de l'infini coupent le plan 

 de contact suivant deux points a, a' qui décrivent des surfaces normales à aa' 



et de courbure moyenne constante —,• Par suite, d'après un théorème de 



M . Bonnet, le milieu c de aa' qui se trouve sur la droite isotrope passant par 

 le centre de (Q) et son point de contact avec le cercle de l'infini décrit une sur- 

 face (c) dont la courbure totale est constante et égale à — ? - 



■a a' 



» Le lien que cette proposition établit entre la surface (©) résultant de 

 la déformation de la quadrique (Q) et la surface à courbure totale con- 

 stante (c) nous permet d'affirmer que, si l'on cherche à déterminer les sur- 

 faces applicables sur la quadrique (Q), la principale difficulté du problème 

 se ramènera à la détermination des surfaces à courbure totale constante 

 telles que (/•). Supposons, en effet, que l'on se donne la surface (c); le 

 plan tangent à la surface (©) devra passer par la normale à la surface (c), 

 et les droites qui joignent le point de contact de ce plan tangent aux deux 

 centres de courbure principaux de (c ) devront être des tangentes conju- 

 guées de (0) ; de plus, les courbes de (0) tangentes à ces deux droites de- 

 vront correspondre aux lignes de courbure de (c). Voilà une première 

 propriété qui, on le reconnaît aisément, fait dépendre la détermination 

 de (0) de intégration d'une équation linéaire aux dérivées partielles du 

 second ordre. Si l'on exprime ensuite que (w) est applicable sur la qua- 

 drique (Q), on obtiendra d'autres conditions qui, venant s'ajouter à la 



