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première, feront dépendre la détermination de (0), lorsque (c) sera donnée, 

 d'un système d'équations aux dérivées partielles dont l'intégration ne 

 pourra introduire que des constantes arbitraires. C'est ce système d'équa- 

 tions aux dérivées partielles que nous allons former. 



» Au Chapitre XIII du Livre VIII de nos Leçons, nous avons donné les 

 moyens de définir analyliquement le roulement d'une surface (Q) sur une 

 surface applicable (©). Si l'on pose 



(1) cc t = u, y, + iz, = v, y, — iz, = an-, 



l'équation de la surface (Q) relative à des axes qui lui seront invariable- 

 ment liés pourra être prise sous la forme 



(2) w=f(u,v), 



el si l'on désigne, suivant l'usage, par/;, q les dérivées de w, l'élément li- 

 néaire de (Q) f celui par suite de (0) sera donné parla formule 



(3) ds 2 = du 2 H- ipdudv -+- -ifjdv' 2 . 



» Désignons par x, y, z les coordonnées par rapport à des axes fixes du 

 point de contact de (0) et de (Q); ce seront des fonctions de u, e. 



» Cherchons à déterminer la surface (c) décrite par le point c, où la 

 droite isotrope 



x, = 0, y,+ iz, = o, 



invariablement liée à (Q), vient couper le plan tangent commun à (0) et 

 à (Q). Les coordonnées X, Y, Z de c seront données (1067) par les for- 

 mules 



v dx dx 



Ou 1 v 



1 -.. dy dy 



(4) { Y = y — u -f- — v-f, 



^ Ou àv 



dz ds 



Z = Z — Il ~. V -T- ) 



du 



d'où l'on déduira sans peine que les cosinus-directeurs C, C, C" de la 

 normale en c à (c) ont pour expressions 



(5) C=^, C'=&, V=t~ 



s ' Ou Ou Ou 



» De là il résultera facilement que si X, Y, Z, C, C, C" sont donnés en 

 fonctions de //, v, les coordonnées r, y, s seront définies par des équa- 



