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 tiors toiles que les suivantes 

 ,.. N dx „ dr rd\.-h 1/ rfC. 



(<>) ^= r - ^ = -J -— • 



» Cela posé, nous allons exprimer d'abord que la surface (c) est à 

 courbure totale constante,- et nous supposerons, pour la facilité des calculs, 

 que cette valeur constante de la courbure est égale à — i. 



« Pour déterminer les lignes de courbure et les rayons de courbure 

 de (c), il suffit de répéter les calculs du n° 1068. Les équations d'Olinde 

 Rodrigues 



( 7 ) rfX + p dC = o, d Y -+- p dC = o , dZ + ? dC" = o 



nous donneront ici 



(o) «7-: rf-r- = o, 



v ' av v au 



et elles ne différeront des équations (19) du n° 1068 que par la substitu- 

 tion de à p. En effectuant la même substitution dans l'équation (2;5) 



du même numéro, on aura donc entre les deux rayons de courbure p, p, 

 de (c) la relation 



(9) r (? ~ ")(P< — ") — ( '(? ■+■ ?< ~ 2«)j + r/ = o, 



où r, s, t désignent les dérivées secondes de w par rapport à u et à v. 

 » Pour que cette équation se réduise à la suivante 



(10) PP. = — 1. 



il faut que l'on ait 



ur -+- vs —■ o, 



L'intégration de ces équations simultanées n'offre aucune difficulté et nous 

 conduit aux valeurs suivantes de w, p, q 



(ti) w ----- b h- hu -+- h v 4- l,\ 



(12) p — b--\-h, q= -j — — r +- " , 



valeurs où b, h, h', k désignent quatre constantes arbitraires. La première 



