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niment grand avec n. Dans la recherche des singularités sur le cercle, il 



n! 

 suffisait de supposer — supérieur à un nombre fixe plus grand que i . C'est 



donc cette condition qu'il v a lieu de modifier pour être sur d e l'application 

 de la méthode, qui devient ainsi absolument générale. 



» On est d'ailleurs conduit aux mêmes conséquences, spécialement pour 

 les enveloppes de séries. On peut former, d'une infinité de manières, des 

 séries telles que les fonctions qu'elles représentent n'aient, à l'intérieur 

 d'un certain cercle, que des singularités données; les coefficients de ces 

 séries ne sont pas nécessairement des fonctions analytiques de leur rang 

 considéré comme variable indépendante. Bornons-nous cependant à citer 

 la fonction 2g(n)z" qui n'a, à distance finie, que le point singulier + i, 



si g(t) est une fonction entière d'ordre au plus égal à i, et, dans ce dernier 



i 



cas, si la plus grande des limites des maxima de |g"(/)|' est l'unité, pour t 

 infiniment grand. 



» M. Hada,mard a relié l'étude de la fonction la n b n z n à celle des deux 

 suivantes, la n z n , lb n z n . J'ai donné de ce théorème (') une extension que 

 j'ai précisée et complétée depuis. On peut l'utiliser concurremment avec 

 la méthode indiquée plus haut. Voici un résultat obtenu de cette manière : 



» Soit une série c a -h c,t. -h c. 2 t 2 + . . . de rayon de convergence différent 

 de zéro, et une fonction entière g(t) = Zd n t n telle que v / |</„|(L„) a tende 

 vers zéro pour n infini, a étant supérieur à i . Si l'on pose 



C\ Cq Cil 



«« = ^o -+- - -+■ 4 •+- . . . -+- — n > 



n n- n" 



la fonction représentée par la série lg(a n )z" n'a pas d'autre singidarité 

 que l'unité, à distance finie. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques propriétés arithmétiques des 

 fonctions analytiques. Note de M. Paul Staeckel, présentée par 

 M. E. Picard. 



« Qu'il me soit permis de revenir au sujet traité dans ma Note du 

 20 mars pour compléter la démonstration de mon théorème. 



(' ) Bulletin de la Société mathématique, n° 10, t. XXVI. 



