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» Étant donnée une série de puissances convergentes 



(i) K(x,y) = y — x -h- ax 2 -+- zbxy -+- cy- +..., 



il existe une série de Taylor 



(■2) y = x -h c 2 x" -+- c 3 x* -+- — 



convergente pour les valeurs de # assez petites, qui satisfait à l'équation 

 K(x,y) = o. On sait que toutes les séries de Taylor engendrées par conti- 

 nuation analytique de la série (2), savoir 



(3) y — y = A,(x — x ) -+■ k,(x — x 6 Y + . . ., 



vérifient elles-mêmes l'équation K(x, y) = o. Quand les séries (3) con- 

 stituent l'ensemble des séries de Taylor qui satisfont à l'équation 



K(x,y) = 0, 



cette équation définira une fonction analytique et monogène y de x et sera 

 dite irréductible. 

 » L'équation 



( i) y — * + ^iUh^ h g h (x)yV-"g h (y) = o 



h = \ 



de ma Communication précédente est-elle irréductible? Voilà une question 

 à laquelle il semble assez difficile de répondre. Cependant, si l'équation (4) 

 est réductible, on doit craindre que les séries de Taylor qui proviennent de 

 cette équation ne représentent des fonctions algébriques de x, ce qui infir- 

 merait toute ma démonstration. 



» Heureusement, ce doute se lève par les considérations suivantes : 

 » Soient «,, u,, . . . , u a _, des nombres rationnels quelconques. Formons 

 le polynôme 



p *(.y) = y — x -+- 2 u à°^''gh^)y H gA(y) 



ii = 1 



et posons 



1 1 1 



En tenant compte des identités 



f-a+ . = (*« -+- K . gk(t) = t l I -„ ( l - j , 



