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nous obtiendrons 



n a (0 



p.oo 



^ a ?H-« + .- 1 T l ^+.- 1 



On démontrera aisément que le numérateur II a (r,) est un polynôme irré- 

 ductible de l, v), v a à coefficients rationnels. Or, on doit à M. D. Hilbert le 

 théorème suivant : 



» F (oc, y, ..., w; t, r, . . . , q) étant un polynôme irréductible à coeffi- 

 cients entiers des variables x, y, . . . , w et des paramètres t, r, ... , q, il y a 

 une infinité de nombres entiers qui, substitués aux paramètres t, r, . . . , q, 



transforment F dans un polynôme irréductible des variables x, y w 



(Journal de Crelle, t. 110). 



» Ajoutons la remarque essentielle que tous ces nombres t, r, . . , q 

 peuvent être choisis de manière qu'ils dépassent un nombre donné 

 d'avance N et appliquons ce théorème au polynôme irréductible II œ ( vi ) , 

 y) étant la variable, ç et e œ les paramètres. Soient (3 — i et w a des nombres 

 entiers surpassant un nombre entier donné N a qui, substitués aux para- 

 mètres E et v a , transforment n a (vi) dans un polynôme irréductible de la 



variable w. Alors les nombres rationnels „ et — substitués aux quan- 



P — I «'a ^ 



tités x et u a transformeront P a (j) dans un polynôme irréductible de y, 

 que nous désignerons par Q a (y). 



)> Après avoir déterminé le coefficient u a de la manière indiquée ci- 

 dessus, posons 



et assujettissons le coefficient u^ à la condition qu'il soit différent de zéro, 

 et que le polynôme Pp(y) se transforme dans un polynôme irréductible 



Op(j') si l'on substitue aux quantités x et up des nombres rationnels _ 



et -- plus petits que =-• Après avoir déterminé le coefficient u$ de cette 

 manière, posons 



» Soient u a , ua, . . ., « A , //>., ... les coefficients différents de zéro. 

 » Il faut prendre les nombres =*-> ^7» ••■ assez petits pour que la 

 série (4) soit toujours convergente; la limite de ces nombres sera zéro. 



