( 8o8 ) 

 » Cela posé, supposons que la fonction y définie par la série 



( 5 ) y = x -+- c 2 a; 2 -+- c, x' s + . . . , 



qui satisfait à l'équation (4)i soit une fonction algébrique de x. Si l'on 



choisit l'index X assez grand, la série (5) sera convergente pour x = , 



et elle donnera pour y un nombre algébrique racine de l'équation irréduc- 

 tible Qa(j) = o, car , _ est un nombre algébrique de hauteur X. Le 



degré du polynôme Qa(J') est [**+.,. Par conséquent le degré de l'équa- 

 tion algébrique irréductible, à laquelle satisfait la série (5), doit être au 

 moins égal à [a* + ,, ce qui est absurde, les nombres |t a -M» pp-t-i »•.■•! J*a-m» 

 [/.x + ,,... croissant au-dessus de tout nombre donné. Donc la série (5) 

 représente vraiment une fonction transcendante dex. » 



PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur l'existence des fonctions fondamentales. 

 Note de M. W. Stekloff, présentée par M. Poincaré. 



« D'après les recherches de M. Le Roy (Annales de l'Ecole Normale, 

 n°* 1, 2, 3; «898) et d'après le théorème (A), donné à la fin de ma Note 

 précédente (Comptes rendus, n° 10), on peut considérer comme démontrée 

 rigoureusement l'existence des fonctions fondamentales de M. Poincaré 

 pour toute surface fermée (S), qui admet à la fois la transformation ponc- 

 tuelle de M. Le Roy et celle de M. Poincaré (Acla mathematica, t. XX). 



» Il me semble cependant difficile de donner une définition précise des 

 conditions delà possibilité de cette propriété double de la surface (S). On 

 peut, d'ailleurs, s'affranchir de cet inconvénient et simplifier les raisonne- 

 ments, en remarquant que l'existence des fonctions fondamentales est une 

 conséquence immédiate d'un seul théorème (A), comme nous le démontre- 

 rons tout de suite. 



» On peut démontrer d'abord les lemmes suivants : 



» 1. Si V est une fonction harmonique à l'intérieur de (S), satisfaisant à la 

 condition 



on a 



f\-ds<QJ'f 2 ds, 



