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» Posons 

 (3) v = v -h\v,+...-h\ s v s -^..., 



v s étant clos fonctions harmoniques, qu'on peut déterminer par la méthode 

 de M. Robin, comme je l'ai démontré dans ma Note précédente. En dési- 

 gnant par W, les intégrales |oV; ds (s = o, 1,2,.. .), on trouve 



W, . W, . . W, 



w, ^ w, ^•••^ w,_, 



<.... 



En partant ensuite de la formule connue de Green et en tenant compte du 

 lemme I, nous démontrerons que la série (3) converge, pourvu que 



pt|<lim£ 



» Changeons, dans (?),/ en 



x /-l- i,c, + ... + « J) .,I',. 



« En choisissant convenablement les a s , nous aurons, en vertu du 

 lemme III, 



» Cela nous suffit pour démontrer par la méthode de M. Poincaré (Ren- 

 dicontidi Palermo, 1894)» ' e théorème suivant : 



» Il existe une infinité de nombres positifs k s et des fonctions harmoniques 

 V,(s = 1 , 2, . . .), satisfaisant aux conditions 





- s -i = k s <fY, sur ($), J <?Y; ds = 1 (5 = 1,2,...) 



^our /oute surface (s), pourvu que le théorème fondamental lui soit appli- 

 cable. 



» E'existence des fonctions fondamentales de M. Le Roy est donc dé- 

 montrée. 



» En posant 9 = p, p étant la densité d'électricité en équilibre sur (s), 

 dont l'existence est démontrée dans ma Note récente, nous obtiendrons les 

 fonctions fondamentales de M. Poincaré. 



» Il importe de remarquer que tous les raisonnements précédents ne dé- 

 pendent nullement du principe de Dirichlet. » 



