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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions de plusieurs variables. 

 Note de M. H. Lebesgue, présentée par M. Picard. 



« M. Baire (') a résolu le problème suivant : Déterminer toutes les 

 fonctions d'une variable représentables par une série de polynômes. Dans 

 le cas de plusieurs variables, pour résoudre le même problème par les 

 méthodes de M. Baire, il faudrait, d'après cet auteur ( 2 ), faire d'abord 

 « une étude en quelque sorte géométrique des ensembles parfaits » dans 

 un espace à plusieurs dimensions. La question est au contraire très facile 

 si l'on se sert de la proposition que je vais indiquer. 



» M. Baire appelle fonction de classe o celles qui sont continues par 

 rapport à l'ensemble des variables, et fonctions de classe n celles qui sont 

 limites de fonctions de classe n — i sans être limites de fonctions de classes 

 inférieures. En adoptant ces dénominations, on peut dire que : 



» I. Pour qu'une fonction de plusieurs variables soit de classe n, il faut et 

 il suffit qu'elle soit de classe n au plus sur toutes les courbes du domaine où 

 elle est définie, et effectivement de classe n sur l'une au moins de ces courbes. 



» Dans cet énoncé, j'entends par courbe l'ensemble des points or, = /, (t), 

 x. t =f„(t), ... ; /,, fi,, . . . étant continues. Une courbe peut remplir un 

 domaine. 



» Supposons qu'il s'agisse d'une fonction F de deux variables définie 

 dans le carré dont deux sommets opposés sont (0,0) ; (1,1). Désignons par 

 <r(0 la fonction d'une variable définie par F sur la courbe de M. Peano ( 3 ) 

 relative à la base 3. 



» D'après les propriétés de cette courbe, si $(/) est continue, F l'est 

 aussi; donc : 



» II. Pour qu'une fonction soit continue en un point, il faut et il suffit 

 quelle soit en ce point continue sur toutes les courbes qui y passent. 



» III. Pour qu'une fonction soit continue par rapport à l'ensemble des 

 variables dans un certain domaine, il faut et il suffit qu'elle soit continue sur- 

 toutes les courbes de ce domaine. 



» C'est le théorème I pour n = o. Si n ^> o la démonstration est moins 



(') Comptes rendus, 1898, et sa Thèse : Sur les fonctions de variables réelles. 



(-) Chapitre IV de sa Thèse. 



( 3 ) Malhemalische Annalen, t. XXXVI. 



