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simple. Supposons, en effet, <1>(/) de classe i, <t>(*) est la limite d'une 

 suite de fonctions continues <p„(<). Mais la fonction f n (x, y) définie dans 

 le carré par o„ n'est bien définie que si aucune des coordonnées x, y 



n'est de la forme ^ . M et m étant entier; de telle sorte qu'à une suite de 



fonctions continues ne correspond pas une suite de fonctions continues 

 en x, y. Mais cette difficulté se tourne facilement. 



» Si l'on se sert maintenant des résultats de M. Baire on voit que, comme 

 dans le cas d'une variable : 



» Pour qu'une fonction soit développable en série de polynômes il faut et il 

 suffit qu'elle soit ponctuellement discontinue dans tout ensemble parfait. 



» De même les propositions indiquées par M. Baire, p. 63 et 87 de sa 

 Thèse, restent vraies lorsqu'il s'agit de plusieurs variables. J'ajoute que 

 l'emploi des courbes de M. Peano peut servir dans bien des cas à ramener 

 à un domaine linéaire un problème relatif à un domaine quelconque. Par 

 exemple, partant des propriétés connues des ensembles parfaits linéaires 

 on peut ainsi, sans difficulté, faille pour des ensembles parfaits quel- 

 conques l'étude géométrique dont parle M. Baire. 



» La démonstration du théorème I montre qu'il est inutile de faire inter- 

 venir dans son énoncé toutes les courbes du domaine; il suffit de consi- 

 dérer des courbes analogues à celles de M. Peano. Peut-on remplacer ces 

 courbes par un nombre fini ou infini de courbes simples? 



» L'exemple des fonctions de plusieurs variables continues seulement 

 par rapport à chacune d'elles prouve qu'il ne suffit pas de considérer les 

 parallèles aux axes de coordonnées. Mais il y a plus; soit F(X, Y) une 

 fonction nulle si X ^ Y; et, si X = Y, égale à une fonction de X non repré- 

 sentable par une série multiple de polynômes. F n'est pas représentable 

 par une série multiple de polynômes et cependant, sur toute courbe ne 

 rencontrant pas un nombre infini de fois la droite X = Y, elle est dévelop- 

 pable en série de polynômes. 



» Même pour les théorèmes II et III il ne semble pas possible de ne se 

 servir que de courbes simples. On peut, en effet, construire des fonctions 

 discontinues dans n'importe quel domaine et cependant continues sur toute 

 courbe algébrique ou même analytique. Dans quelques-uns des exemples que 

 j'ai obtenus, les courbes analytiques ne forment qu'une classe très particu- 

 lière dans l'ensemble des courbes sur lesquelles la fonction est continue; 

 de plus, chacune de ces fonctions est représcntable par une série de poly- 

 nômes uniformément convergente sur toute courbe où la fonction est continue 



