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ou 



(2) [5., ,f .j -2j[j^^ dx, dp, dJir dj-, - ^. ^/^^ dz - ^J' ^> 



dpk dxk dpk dxkj dx,, dxk 



sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que les 2/* + i équations 



(3) ='=Z( = , a:',, ..., a;„, Pi, ...,/>„), a-; = X,, p\—^i, i=\,...,n 



définissent une transformation de contact entre les variables z, œ,, . . ., x,„ 

 p,, ...,pn et les variables z' , x\, ..., x\^, p\, ..., p[^. 



» Recherchons les transformations de contact qui laissent invariante 

 l'équation aux dérivées partielles du second ordre 



(4) l/^,,,.^.,-.. ■■■, Pn,n\ = 0. 



» En posant 



n 



et 



(6) <i.(x, , x„ . . . . x„) = I XV', x;,^', . . ., x;;" |. 



on a 



/ \ I p 1) p I __ 't'(Pi> P-2. ■ • ■. ^^^) 



^"^ ' '■" - ^''•«l-*{X„x„...,x„)' 



en vertu des équations 



n n 



(8) rfZ = 2'P'rf^„ c?P, = 2'P'V^^^v 



1 1 



» En développant l'expression ^(P,, Pa, ..., P„), égalant à zéro les 

 coefficients de /?, ,, p,,,, ... et notant les relations (i) et (2), on trouve, 

 après une réduction aisée, les n systèmes complets suivants : 



(9) («, i) = o, (1,2) — o, ..., (i,n) = o; i=\,...,n. 



n L'application à ces systèmes complets de la méthode de M. Mayer 

 donne les formes suivantes des fonctions P^ : 



(10) ^i^'i^iiy^ipjXj— z,p„ ...,p,A= '^i{K,p,, ■■■,p,i), i= 1, ...,«, 



1 



où les fonctions (p, sont arbitraires. 



C. R., 1898, 2» Semestre. (T. CXXVII, N» 14.) 64 



