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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les développements des fonctions uniformes 

 en séries de Taylor. Note de M. Emile Borei., présentée par M. Appell. 



« Je publierai prochainement quelques résultats auxquels j'avais été 

 conduit par l'étude d'un théorème dont JM. Hadamard avait communiqué 

 l'an dernier l'énoncé à l'Académie (' ) et dont il vient de publier la démon- 

 stration (^). Je voudrais indiquer ici un théorème, compris dans ces 

 résultats comme cas particulier, mais peut-être plus intéressant, à cause 

 de sa simplicité, que les propositions plus générales dont on peut le 

 déduire. 



» Désignons, pour abréger le langage, par fonction (M) une fonction 

 uniforme dans tout le plan, à singularités ponctuelles (^). Posons, d'ailleurs : 



o(:;) = a„ + a^z -\- a.,z- -{-... + a„z" -h. .., 

 (I;(z) — b„ + />, = + h.,z'- +. . .+ b^z" + ..., 

 f(z) = a„b„ -ha,b,z-h... + a„b„z"+. . . . 



» On a le théorème suivant : 



» Si les fonctions (p(5)e^tj/(^) sont des fonctions {M.), la fonction f(z) est 

 aussi une fonction (M). 



» On peut ajouter que, si les fonctions çp( = ) et <\i(z) sont méromorphes, 

 f{z^ est aussi inéromorphe . 



» En utilisant une remarque faite par M. Leau dans la dernière séance 

 de la Société mathématique (''), on constate que ces énoncés subsistent si 



l'on pose 



f{z)=lu{a,„b„)z", 



zs(a, b) étant un polynôme en a et b. On pourrait, d'ailleurs, au lieu de 

 partir de deux séries ç et A, s'en donner un plus grand nombre. » 



(•) Comptes rendus, t. GXXIV. 



(*) Acla mathemalica, t. XXII. 



(3) Les fonctions (M) les plus générales sont celles qui ont été étudiées par M. Mit- 

 tag-Leffler dans un Mémoire bien connu {Acta mathemalica, t. IV). 



(') La Communication de M. Leau paraîtra prochainement au Bulletin de la 

 Société. 



