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AXAi.YSK MATHÉMATIQUE. — Sur une équation indéterminée. 

 Note (le M. Carl Stormer, présentée par M. Jordan. 



« Soit à résoudre en nombres entiers positifs .r,, .t. x,„, .)',, r^ y„ 



l'équation 



( 1 ) AM[' m: '. . . m;;' - BN',' K '; . . . N); = C . 



où A, B, M,, IVI.., M,„, N,, No N„ sont des nombres entiers donnés 



et oùC = ± i ou = ± 5. 



» I.a solution complète de ce problème résulte de l'apiilication du 

 théorème suivant, que j'ai publié dans un travail intitulé : Quelques théo- 

 rèmes sur l'équation de Pell x"^ — Dr" = ± i <?/ leurs applications (Christiania 

 Videnskabsselskabs Skrifter, I, n"!2; Christiania, 189-). 



» Soit \) un nombre entier positif non carré, et soit i = i ou =: — i . Sup- 

 posons que l'équation de Pell x'' — D v' -= t admette des solutions entières 

 positives x et y, et soit y, la plus petite solution y. Alors deux cas pem'cnt se 

 présenter : 



» \" Ou bien il n'y aura aucune solution y telle que tout nombre premier 

 diviseur de y le soit aussi de D ; 



» 2° Ou bien il y en aura une seule, et ce sera y, . 



» Nous allons appliquer ce théorème pour résoudre l'équation (i). A cet 

 effet, posons 



BN{'N^=...N-;,"==, 

 d'où 



AM;-M;\..IVi;;'= = -f-C. 

 et cela donne 



(2) r.(: -4- C) = ABM;' . . . M^fNV . . . n;;. 



» Or, siC=±i, le premier membre sera égal à Y |(2z±i)'-— i], et si 

 C = ± 2, il sera égal à (; ± i)- — i, c'est-à-dire l'équation ( 2) aura toujours 

 la forme 



.r*-i = A'BM;'...N^;-, 



X étant un entier indéterminé, el A'= A ou = 4^. 

 » Notre problème est ainsi réduit au suivant : 

 » I. Résoudre complètement en nombres entiers positifs x, s,, z.. Zr, 



