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 l'équation indéterminée 



(3) a7=-i = KA7A^.. A;^ 



o/i R, A, , A^, . . . Ap sont des nombres entiers donnés. 



» Nous allons voir que notre théorème sur l'équation de Pell suffit pour 

 résoudre complètement ce problème. 



» A cet effet, désignons le produit au second membre de (3) par P et 

 posons s, = £, + 2^1, . . . , ;p = £p4- 2/p. En posant 



RA^'A^.. A;f = D, 



ava^..a;^ = q, 



on aura donc P ^ DQ-. En substituant maintenant aux £,,..., îp, de toutes 

 les manières possibles, les valeurs i et ^ et, en même temps, aux t^, . . . /p 



toutesles valeurs entières positives ou nulles, les variables z , :;p auront 



toutes les valeurs entières positives. On aura ainsi une infinité de valeurs 

 de P et de Q; mais, tous les t étant ^2, on n'aura qu'un nombre fini de 

 valeurs de D, correspondant à toutesles manières différentes dont on peut 

 choisir les £ égaux à i et à 2. 

 » Soient ces valeurs 



D,, l),, ...,D„ ...,D,. 



» Tous les produits P sont ainsi distribués en v classes, contenant cha- 

 cune une infinité de produits P = DQ-, pour lesquelles D aura la même 

 valeur D^. Considérons tous les produits Q correspondant à cette valeur D/,. 

 Nousallonsdémontrer qu'ily en aura un au plus pour lequel a?-— i = D^^Q^, 

 X étant un entier positif indéterminé. 



» En effet, chacun des produits Q, en nombre infini, a par définition la 

 jiroprièté (juc tout diviseur premier qui divise Q divisera aussi Da et, en vertu 

 du théorème cité sur l'équation de Pell, ou bien l'équation x'^ — DaQ' =^ i 

 sera impossible en nombres entiers positifs ic et Q de la propriété deman- 

 dée, ou bien il n'existera qu'une seule solution Q = r,, à laquelle corres- 

 pond X = Xf, X, et j', étant les solutions entières positives les plus petites 

 de l'équation de Pell x- — D^y^ — i, solutions qui sont appelées solutions 

 fondamentales. 



» A toute valeur D^ correspond ainsi, au plus, un système de solution 

 a; et Q et par conséquent : 



« Toutes les solutions entières positives x de l'équation (3) îe trouvent, si elles 



