( 754 ) 

 existent, parmi les solutions fondamentales des équations de Pell : 



a-' — D,j-= I, ■ 

 X- — Dj j- = I , 



où D,, D-i, .... Dv sont toutes les imleurs du produit D = RAj' . . . Ap% les 

 ê,, . . . . 2p étant supposés de toutes les manières possibles = i cl ^= i. 



» En décomposant les nombres correspondants a-^ — i = D^J'" en facteurs, 

 on trouve ensuite les systèmes correspondants de solutions z^, z.^, . . ., ::p. 



» Noire problème est ainsi réduit à trouver les solutions fondamentales 

 d'un nombre fini d'équations de Pell, [iroblèuie bien connu et complète- 

 ment résolu. 



)) En appliquant ce résultat à l'équation (2), on aura ainsi la solution 

 complète de cette équation, c'csl-à-dire, aussi, la solution complète de 

 l'équation (1). On trouve donc que l'équation (1), quand elle est possible, 

 n'admet qu'un nombre fini de solutions entières positives x^, x^, ■ -, x„„ 

 y,, y,, . . . , y„, qui peuvent toutes être trouvées en cherchant les solutions fon- 

 damentales d' un nombre fini d'équations de Pell de la nature indiquée. 



» On voit aisément que ce (pii précède donne aussi la solution com- 

 plète des problèmes suivants : 



» II. A, M, , Mj, . . . , M„, et C ayant la même signification que dans l'équa- 

 tion (i), trouver tous les exposants entiers positifs Xf, x.,, ..., x,^, pour les- 

 quels le nombre 



AMf'M''...M,;-+C 



sera divisible par 1rs nombres premiers donnés p, , p.,, . . . , p,^, et non divisible 

 par d'autres nombres premiers. 



» III. Trouver tous les nombres triangulaires qui sont divisibles par les 

 nombres premiers donnés p,,p3, .... p„, et non divisibles par d'autres nombres 

 premiers. 



» IV. Même question pour les nombres de la forme x'- — i, x étant entier. 



» V. Même question pour les nombres de la forme a;--t- 1, x étant entier. 



» Pour chacun de ces problèmes on ne trouve qu'un nombre fini de 

 solutions. » 



