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qui ne contient pas les p. On a donc 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles du second ordre 

 à points critiques fixes . Note de M. Paixlevé, présentée par M. Picard. 



« Dans des Notes antérieures (^Comptes rendus, mai, juin 1898), je me 

 suis occupé de la détermination explicite des équations différentielles 



(i) 7"=R(/,j, a;) 



à points critiques fixes; R désigne une fraction rationnelle en y' , algébrique 

 en y, analytique en x. J'ai montré que ces équations se partagent en six 

 classes distinctes, et j'ai étudié complètement cinq de ces classes. La classe 

 qu'il me reste à examiner est celle des équations (i) qui se laissent ramener 

 algébriquement à la forme 



\ ) J y y J y 



L'objet de cette Note est de déterminer toutes les équations (2) dont les 

 points critiques sont fixes. 



» Je remarque d'abord que la forme des équations (2) n'est pas altérée 

 par la transformation 



(3) y = Koo)Y, a: = 9(X), 



non plus que par la transformation j= y; dans cette dernière transfor- 

 mation, A se change en a, C en — c, D en — d, E en — E (et réciproque- 

 ment) ; B ne change pas. 



» Je montre ensuite que si l'équation (2) a ses points critiques fixes, il 

 en est de même a fortiori de l'équation 



d'Y f dy\''- , / -.dv ,, , , 



y7iU = [in.) +A(^„)^ + c(^„), 



où .r„ désigne une constante numérique quelconque. On déduit de là que 

 AC est identiquement nui et que, par suite [moyennant une transforma- 



