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» Ces équations ont-elles réellement leurs points critiques fixes? On le 

 voit aussitôt pour les cinq dernières équations qui s'intègrent sans peine. 

 Quant aux trois premières, la proposition s'établit en suivant la même mé- 

 thode (') que pour l'équationj" = j- -H x {Comptes rendus, juin 1898). On 

 arrive donc à ce théorème : 



M Théorème. — Les équations I, II, ..., VIII ont leurs points critiques 

 fixes, et toute équation (2) à points critiques fixes se ramène à une de ces 

 équations moyennant une transformation (3). 



» Mais, parmi ces équations, les seules qui engendrent des transcen- 

 dantes vraiment irréductibles aux transcendantes classiques sont les équa- 

 tions I, [I, III, qu'on peut remplacer par l'équation unique 



a ) yy" = y" + s y' + h' + '^^y + ^^". 



oîi g, h, k, l sont des constantes numériques arbitraires [auxquelles il suffit 

 d'ailleurs de donner un des systèmes de valeurs 



g^i, /=!, /«,/?• arbitraires, 



^=1, /=o, k = i, A arbitraire, 



g = o, / = o, /f = I, /i = i]. 



» Quelles que soient les constantes numériques g, h, k, l, l'équation (4), 

 ou, si l'on veut, les équations I, II, III ont leur intégrale générale méro- 

 morphe dans tout le plan, et cette intégrale est une transcendante uniforme 

 irréductible aux transcendantes abéliennes ou engendrées par les équations 

 linéaires, et à leurs combinaisons. 



» Si l'on pose pour l'équation I 



" = TT - e"(j' + i) + se-'Y^ + gy 



on a 



2"^=e-^l- ^gyj- (^ [y 



y ^' J \y j2 



et la fonction V = gJ""'*)''-^ est une fonction entière dans tout le plan, qui 

 vérifie une équation différentielle très simple du troisième ordre, équation 

 qu'on forme immédiatement. La fonction y(x) s'exprime donc algébrique- 

 ment à l'aide de la dérivée logarithmique seconde de la fonction entière u(x) 

 {et de e^). Des transformations analogues plus simples s'appliquent aux 

 équations II et III. 



(') A la vérité, cette méthode exige quelques modifications que je n'ai pas encore 

 élucidées dans les détails; mais la proposition n'est pas douteuse. 



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