( 58o ) 



logue. On a considéré depuis longtemps les intégrales doubles de première 

 espèce aLlachées à une surface, el ces intégrales jouent un rùle important 

 dans les célèbres travaux de M. Nœther. J'ai indiqué récemment {Coniptes 

 rendus, 6 décembre i8()7 et il\ janvier 1898) ce que l'on pouvait entendre 

 par intégrale double de seconde espèce. Dans un premier Mémoire sur ce 

 sujet, qui paraîtra prochainement, j'ai cherché à poser les bases d'une 

 théorie des inlégrales doubles de seconde espèce relatives aux surfaces algé- 

 briques. Je vais indiquer les principaux résultats de ce travail. 



» 1. Définissons d'abord ce que nous entendons par intégrale double 

 de seconde espèce. Prenons sur la surface un point arbitraire A, que l'on 

 peut toujours par une transformation préalable supposer à distance finie. 

 Si le point A est un point simple, nous disons que l'intégrale (i) présente 

 en A le caractère d'une intégrale de seconde espèce, si l'on peut trouver 

 deux fonctions rationnelles U et V de x, j' ets telles que, après avoir formé 

 l'intégrale double 



la différence des intégrales (1) et (2) reste finie au voisinage de A (on con- 

 sidère, bien entendu, :; comme fonction de x et j, quand on prend les 

 dérivées partielles de U et V). Si le point A est un point multiple de/, on 

 sait que l'on peut partager le voisin:ige de A en un certain nombre de 

 régions telles que chacune d'elles corresponde birationnellemonl à une 

 région R, située sur une surface F, et necompreiiant que des points simples 

 de F; l'intégrale (i) présentera en A le caractère d'une intégrale de seconde 

 espèce, si ses transformées par chacune des substitutions birationnelles 

 à employer présentent, en tous les points de la région correspondante R de 

 la surface correspondante F, le caractère d'une intégrale de seconde espèce. 

 Sien tout point A de la surface (à distance finie ou à l'infini) l'intégrale (i) 

 présente le caractère d'une intégrale de seconde espèce, celle intégrale 

 sera dite une intégrale double de seconde espèce. Il est clair que les fonctions 

 rationnelles U et V pourront varier avec le point A. 



» 2. On s'assure tout d'abord que la forme des expressions (2) est de 

 nature invariante relativement aux transformations birationnelles. On 

 montre ensuite qu'une intégrale double de seconde espèce, relative à une 

 surface/, se change, quand on transforme biratiounellement/en une sur- 

 face F, en une intégrale de seconde espèce de la surface F; ce fait ne résulte 

 pas immédiatement de la |jropriélé d'invariance des formes (2). 



