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» 3. On peut donner des intégrales de seconde espèce une autre défini- 

 tion qui fait intervenir la considération des résidus de l'inlégrale double. 

 J'avais pensé autrefois qu'il y avait quelques difficultés à se placer à ce 

 point de vue ; en fait il n'en est rien. Admettons que l'intégrale (i) devienne 

 seulement infinie le long de certaines lignes (que l'on peut supposer 

 simples) d'une surface à singularités ordinaires, et pour les points à l'infini. 

 Pour chacune de ces lignes et pour la ligne à l'infini, l'intégrale aura un 

 certain nombre de résidui, au sens de M. Poincaré, qui sont des périodes 

 (polaires ou cycliques) d'intégrales abéliennes. Si tous ces résidus sont 

 nuls, l'intégrale sera de seconde espèce, et réciproquement. Cette seconde 

 définition présente d'ailleurs pour nous moins d'intérêt que la première; 

 dans les calculs, c'est à celle-ci qu'il faut toujours revenir. 



» 4. Partons d'une surface /située d'une manière arbitraire par rapport 

 aux axes, et ayant des singularités ordinaires, c'est-à-dire une ligne double 

 avec des points triples (on sait que l'on ne diminue ainsi en rien la généra- 

 lité). Un premier théorème très important est le suivant : Toutes les inté- 

 grales doubles de seconde espèce relatives à la surface f peuvent se mettre sous 

 la forme 



U e? V étant rationnelles en x, y et z, elV{x, y, z) étant un polynôme qui 

 s'annule sut la courbe double. 



» .5. Je montre ensuite que toutes les intégrales doubles de la forme 



,0 



'^ Y'{x,y,z)dxdy 



se ramènent, par la soustraction d'une intégrale (?.), à un nombre limite 

 d'entre elles. Si alors nous convenons de dire que des intégrales doubles 

 de seconde espèce sont distinctes, quand aucune combinaison linéaire de 

 ces intégrales n'est de la forme (2), nous avons le théorème fondamental : 

 » // existe pour une surface algébrique un certain nombre p d' intégrales 

 doubles distinctes de seconde espèce 



I,. I.. ... Tp. 



telles que toute autre intégrale double de seconde espèce est de la forme 



7, I. + a,L + . . . + aplp +y j (^^ -f- ^) dx dy, 

 [es a étant des constantes. 



