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» Le nombre p est un nombre invariant. 



» G. Reprenons une intégrale double relative à la surface f Ae degré m 



fP 



A 



le polynôme P de degré/? s'annulant sur la courbe double. Il faut exprimer 

 que cette intégrale est de seconde espèce. Posons 



I Y Z 



^=X' ■>'=X' ==X' 



et soit F(X, Y, Z) = o la surface transformée. L'intégrale prend la forme 



IJ(X,Y,Z) 



// 



XP-im-i) P' 



dXdY, 



et p est supérieur à m — 4 si l'intégrale initiale n'est pas de première 

 espèce. 



)) Par la soustraction d'une intégrale du type (2), nous ramenons l'iu- 



tégrale à la forme 



//^l^%pijXr/Y. 



» Notre intégrale sera de seconde espèce si la fonction algébrique 



MuTm fno,Y,z) = o] . 



est la dérivée d'une fonction rationnelle de Y et Z, ce que l'on sait toujours 

 reconnaître. Le nombre des conditions sera, en général, 



2~ -h ni — I , 



7ï désignant le genre d'une section plane quelconque de la surface. 



M 7. J'ai indiqué les points essentiels qui forment la base de la théorie ; 

 dans un autre travail j'approfondirai quelques questions qui se posent 

 d'elles-mêmes, et je montrerai, en particulier, la connexion intime qui 

 existe entre la Uiéorie des intégrales doubles de seconde espèce et l'étude 

 des cycles linéaires sur une surface. J'indique seulement aujourd'hui 

 quelques exemples très simples, pour ne pas rester uniquement dans les 

 généralités. 



» Quelles sont les intégrales de seconde espèce pour les intégrales 

 doubles de fractions rationnelles? Il résidle du théorème fondamental 



