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 qu'elles sont toutes de la forme 



ffp(.,y)cI.cly^ff{'J^ ^ '^)cl.dy, 



P étant un polynôme, U et V des fractions rationnelles de a? et j; comme 

 la première de ces intégrales rentre dans la seconde, nous n'avons ici 

 d'autre intégrale de seconde espèce que 



(3) I (j^ -\- '-yjdxdy (U et V rationnelles en a; et j). 



» Le nombre p est égal à zéro. 



» Il est facile de montrer quels seront les calculs à effectuer pour faire 

 la réduction. Bornons-nous à l'intégrale 



où p et Q sont des polynômes, dont le second est supposé irréductible. 

 Celte intégrale sera de seconde espèce si l'intégrale abélienne 



(4) fw(7^)'' K>(^.-^0 = o)j 



est une fonction rationnelle de ^ et r,. Supposons cette condition vérifiée; 

 l'intégrale (4) peut alors se mettre sous la forme 



M(^, -ri) et R(^) étant des polynômes. Formons l'intégrale 



Elle est de la forme (3) ; on voit que la différence des intégrales (I) et ( )) 

 peut s'écrire 



s et V étant des polynômes, et la réduction à la forme (3) de cette inté- 

 grale de seconde espèce est immédiate. 



» 8. Prenons, comme second exemple, une surface / qui correspond 



