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sente dans une infinité de cas, en particulier quand le déterminant D est un 

 nombre premier de la forme lik -hi . A l'aide de ces seules données, il faut 

 trouver une solution de l'équation indéterminée t- — Du- = — i, ou plus 

 généralement = — m-, 



» Gauss, dans son Ouvrage, ne s'occupe pas spécialement de cette der- 

 nière équation qui, par le fait, se trouve ainsi reléguée, sans être mentionnée, 

 parmi l'infinité de celles que le n" 205 apprend à résoudre. En cela, Gauss 

 n'imite pas Lagrange, son devancier, dont la marche, uniforme dans celte 

 double question, aboutit, par une succession indéfinie d'étapes alternatives 

 et périodiques, tantôt à la solution de cette dernière équation (lorsque la 

 valeur de D la rend possible), tantôt à celle (toujours résoluble) de la 

 première. Si l'on songe au rôle fondamental que celle-ci joue dans la réso- 

 lution générale des équations indéterminées du second degré, on s'explique 

 suffisamment le silence de Gauss, qui voulait être bref à cause de l'encom- 

 brement des matières dont il avait à parler (' ). Néanmoins il semble qu'il 

 y ait un certain intérêt à faire voir que la question dont il s'agit (et que l'on 

 sait résoudre autrement) peut être traitée en employant exclusivement 

 des procédés analogues à ceux dont l'illustre auteur se sert pour résoudre 

 le problème qu'il a abordé, mais en les appropriant à leur nouvelle des- 

 tination. Cette extension jette, en effet, une nouvelle lumière sur l'ar- 

 ticle 162. 



» II. Adoptant les notations de l'article précité, on a dans ce cas les six 

 équations 



(i) Ax'-h Q.Bxy -i-CY-= a, 



(3) Ax'^ + B(xi-h'iY) + C-(^ = b, 



(5) \^--^-j.ïi<i^-i-CP = c. 



(') J'ai fait allusion à ce silence de Gauss dans une noie de ma Communication du 

 27 juin 1898, el j'y annonçais brièvement la possibilité d'étendre les formules données 

 par lui au cas que je traite aujourd'hui, sous-entendant d'ailleurs que ces formules 

 subiraient les modifications nécessaires. A propos de cette Communication du 27 juin, 

 je profite de l'occasion (qui, depuis cette époque, se présente à moi pour la première 

 fois) pour restituer à M. Tano la priorité du théorème qui y figure sous le n" I, et que 

 je croyais nouveau. Il a été démontré par cet auteur, d'une façon d'ailleurs toute 

 différente, en 1890, dans le Bulletin des Sciences matliéinatitjues. Je dois cet obli- 

 geant renseignement à M. l'Ingénieur en chef des Ponts et Chaussées Neni, qui a bien 

 voulu m'en fournir aussi une autre démonstration, dont il est l'auteur, mais qu'il n'a 

 pas publiée. 



