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 » Enfin, multipliant (5) par (6), on trouve 



(12) c'^-D(pS'- !=/S)'=:-r 



» Actuellement soit m le plus grand commun diviseur des nombres a. 

 ih, c, et déterminons trois nombres A', B', C de manière qu'on ait 

 k'a 4- 2B'6 + Ce = m, et midtiplinns respectivement (7), (8), (9), (10), 

 (11), (12). par A'=, 2A'B', B'S aA'C, sB'C, C'=, et ajoutons tous ces pro- 

 duits. On voit que la somme des termes du second membre est égale au 

 carré, pris négativement, de k'a -+- 2B'6 + Ce, c'est-à-dire à — m^. Quant 

 à la somme des termes des premiers membres, on la trouve égale à 

 T^ - DIP, si l'on écrit 



(i3) A'a'+2Bè'+Cc' = T, 



» En résumé, on a T^ — DU" = — m-, T et U étant manifestement 

 er)tiers. 



» Ainsi, d'après cette analyse, la solution de l'équation indéterminée 

 t- — Dw- = — ni^ (et, en particulier, celle de t- — Du^ = — dépend, lors- 

 qu'elle est possible, de deux transformations semblables de la forme F, 

 l'une enf=(a. b, c), l'autre en/' = (— a, b, — c), inverse de la première. 



» Sans poursuivre ces calculs plus loin (comme le faitGauss, dont le but 

 final, dans l'art. 162, n'est pas exclusivement celui qui fait l'objet de sa 

 première Partie), je me bornerai à dire que les formules (iH), (19), (20), 

 (21), qui servent à trouver plus commodément les valeurs de T et U, 

 deviennent, dans les données dé la présente Note : 



(18) 2eT = (- aâ'+ '/S — py'+ P'y)'". 



(19) aU = (ay' — a'Y)w, 



(20) 2iU = (- 7.S' - 7.'S + Py' + ?.'y)m, 



(21) cU = (- EiS'+p'S)/?2; 



les relations /??«'= Ta,. 2mb' = 2Tb, mc'^^Tc demeurent d'ailleurs les 

 mêmes, et (28) devient eT + bU = m{[ — aS'+ |3'y). 



» III. La vérification algébrique des formules précédentes n'étant qu'une 

 affaire d'ordre et de patience ('), je me bornerai aux observations suivantes : 



(') Cette vérification deiuauile j)uurLant une précaution : c'est de suivre dans les 

 calculs l'ordre qui a servi à établir les formules. Par exemple, la vérification de la for- 



