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grales intermédiaires disliiictes V(u, t) = o, n et v étant des fonctions de 

 X, y, z, p, (j et r une (onction arbitraire, cette équation peut être ramenée 

 par une transformation de contact à l'une des deux formes canoniques 

 r= o, s = o, suivant que les deux systèmes de caractéristiques sont con- 

 fondus ou distincts. Ce théorème ne semhie pas avoir été étendu complè- 

 tement jusqu'ici aux équations du second ordre à un nombre quelconque 

 de variables; c'est cette extension que je me propose d'indiquer dans cette 

 Note. 



» Soient a?,, .r.. . . ., x„ un système de n variables indépendantes, s une 

 fonction de ces variables; nous poserons 



dz 



P:/. 





(i,k= 1, 2, . . ., n). 



» Les équations du second ordre, qui doivent être considérées comme 

 analogues à l'équation de Monge-Ampère, sont les équations de la forme 



(0 



Pnn 



= O, 



Pu I + ^v; I Pu i > ^-ii 1 



OÙ les a,A sont des fonctions quelconques de oc,, x^, ■ ■ -, r,,, :•, p,, . . ., p„, 

 ou du moins peuvent toujours se ramener à cette forme par une transfor- 

 mation de contact convenable. 



» L'équation (i) admet deux familles de caractéristiques de premier 

 ordre; les équations différentielles de l'un des systèmes sont 



(^) 



dz — /?, (/x, — p.,f/x^ 

 dp, -(- a, , (/x, -h a, 2 dx.. 



■ ■ — Pn (i-'^n 



O, 



o, 



dp„+y.„,dx, 



dx., ■+- . 



"^mt "^rt — ^ » 



et les équations différentielles de l'autre système se déduisent de celles-là 

 en permutant les indices i et k dans les coefficients a,^. 



» La recherche des intégrales intermédiaires de l'équation (i) se ramène 

 à la recherche des combinaisons intégrables des équations (2) ou des équa- 

 tions analogues de l'autre système. Si l'un de ces systèmes admet n com- 

 binaisons intégrables distinctes, 



du, == o, du., = 0, . . . , du,^ = o, 



l'équation (r) admet l'intégrale intermédiaire F(«,, u.. 



H„) = 0, et ré- 



