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ciproquement. Si du = o et rfç' =: o sont deux combinaisons inlégrablcs de 

 chacun des deux systèmes, on a toujours \u, v\ == o. 



» Cela posé, si l'équation (i) admet deux intégrales intermédiaires dis- 

 tinctes, il peut se présenter deux cas : 



» 1° L'un des systèmes de caractéristiques admet n + i intégrales dis- 

 tinctes. Les deux systèmes de caractéristiques sont alors confondus, et l'é- 

 quation peut se ramener, par une transformation de contact, à la forme 

 simple ^, , = o (' ). 



» 2° Les deux systèmes de caractéristiques sont distincts et chacun 

 d'eux admet n combinaisons intégrables distinctes. Le problème revient 

 alors à trouver deux groupes de n fonctions distinctes {ll^, u.,, ..., u„) et 

 (r, , t\, ('„) tels que l'on ait [w,, c^t] = o pour toutes les valeurs des in- 

 dices / et X\ Cette dernière question se résout facilement, grâce à la théorie 

 des groupes homogènes de fonctions de M. Sophus Lie (J\Iathemalische An- 

 nalen, t. VIII et XI; Théorie der Trans for mations gruppen, t. II). En effec- 

 tuant une transformation de contact convenable, et remplaçant «,, u.^, ..., 

 M,; par des fonctions distinctes f^ («,, . . ., «„), . . ., /,i(u,, . . ., «„) et opé- 

 rant de même pour les r^, on démontre qu'il est possible de ramener les 

 deux groupes de fonctions u et t' à l'une des formes canoniques suivantes : 



^1 f ^2» 



^tf. P,> P2, 



Pq^ '^ij+i > • • •> -^r 



(1) 



(11) 



» Pour le type (I), la somme </ + r est égale à « — i, et le nombre q 



(') Les équations don l il s'agit ont été déterminées, sous leur forme la plus géné- 

 rale, par M. Darboux, dans son Mémoire sur les solulions singulières des équations 

 aux dérivées partielles du premier ordre {Mémoires présentés par divers Savants à 

 '■'Académie des Sciences, l. XXVII, p. 212). Quelques cas particuliers oui fait l'objet 

 de travaux récents : Vivanti {Matliematische Annalen, l. XLVIII, p. 474-5i3), For- 

 syth {Cambridge philosoplucal Transactions, vol. \VI, \ràvi. 111, p. igr-aiS), Josef 

 kiHsciiAK {Mathematischer und A'alurwissenscliaJ'lliclier Anzeiger der Akademie, 

 t. XIV; Budapest, 1898), etc. 



